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Aufleiten produktregel mit kette

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Aufleiten, Integration, mit Kette

NinaNormal aktiv_icon

17:11 Uhr, 09.07.2024

Hallo,

ich möchte mal versuchen in den nächsten Wochen alte Abiture zu lösen die es frei im Internet gibt.

Hier stellt sich für mich gleich die erste Hürde bei Aufgabe

1 a 3

und

1 a 4

.
(Siehe hierfür Bild).
Wie macht man das?

Ich weiß nicht wie man ein Produkt und dazu noch eine Kette aufleitet.
Die Grenzen müssten 0 und

1,5

sein.
Etwas mit

\frac{1}{5} \cdot (

…)^5 würd ich vermuten. Und

e^{x}

bleibt ja

e^{x}

.
Aber wie bringt man das zusammen?
Noch nie gemacht solch einen aufgabentyp.

Bei

1 a 4

hab ich gar keine Idee.
Wüsst null wie ich da vorgehen könnte.

Vllt kann mir jemand helfen bzw. hätte eine Idee?

Danke im Voraus.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

17:33 Uhr, 09.07.2024

Partielle Integration

\int u v ´ d x = u v - \int u ´ v d x

, angewandt hier auf

u = {(x - a)}^{2}

und

v = e^{x}

, und dann gleich nochmal, aber für

u = (x - a)

und

v = e^{x}

KL700 aktiv_icon

17:49 Uhr, 09.07.2024

Zum Integrieren:
www.integralrechner.de

calc007

17:58 Uhr, 09.07.2024

a 4)

Es ist von zwei Extrempunkten die Rede.
Mindestens einen solltest du ja schon bestimmt haben.
Wie lauten die Koordinaten der Extrempunkte?
Wie lautet die Funktionsgleichung der Geraden durch die Extrempunkte?
Wie lauten die Schnittpunkte dieser Geraden mit den Koordinatenachsen?

Atlantik aktiv_icon

14:20 Uhr, 10.07.2024

a 4)

f (x) = e^{x} {(x - a)}^{2}

f' (x) = e^{x} {(x - a)}^{2} + e^{x} \cdot 2 (x - a) = e^{x} [{(x - a)}^{2} + 2 (x - a)] = e^{x} [x^{2} - 2 a x + a^{2} + 2 x - 2 a]

e^{x} [x^{2} - 2 a x + a^{2} + 2 x - 2 a] = 0

e^{x} \neq 0

x^{2} + 2 x - 2 a x = 2 a - a^{2}

x^{2} + (2 - 2 a) x = 2 a - a^{2}

x^{2} + (2 - 2 a) x + {(1 - a)}^{2} = 2 a - a^{2} + {(1 - a)}^{2}

{(x + 1 - a)}^{2} = 1 | \pm \sqrt{}

1 .)

x + 1 - a = 1

x_{1} = a \to \to f (a) = e^{a} {(a - a)}^{2} = 0

2 .)

x + 1 - a = - 1

x_{2} = a - 2 \to \to f (a - 2) = 4 e^{a - 2}

Art der Extrema:

f'' (x) = e^{x} [x^{2} - 2 a x + a^{2} + 2 x - 2 a] + e^{x} [2 x - 2 a + 2]

f'' (x) = e^{x} [x^{2} - 2 a x + a^{2} + 4 x - 4 a + 2]

1 .)

f'' (a) = e^{a} [a^{2} - 2 a^{2} + a^{2} + 4 a - 4 a + 2] = 2 e^{a}

Ist immer

> 0 \to \to M i n i m u m

2 .)

f'' (a - 2) = f'' (x) = e^{a - 2} [- 2]

Ist immer

< 0 \to \to M a x i m u m

u . s . w

HAL9000

14:29 Uhr, 10.07.2024

Man erkennt hier übrigens rasch das Schema für die

k

-te Ableitung

f_{a}^{(k)} (x) = e^{x} \cdot [{(x - a + k)}^{2} - k]

.

Tatsächlich lässt sich das auch rückwärts zu

k = - 1

fortsetzen, d.h., eine mögliche Stammfunktion von

f_{a}

ist

F_{a} (x) = e^{x} \cdot [{(x - a - 1)}^{2} + 1]

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