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Aufloesen einer (endlichen) Summe mit Logarithmus

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Reihe aufloesen

CheckeXDurch0 aktiv_icon

17:19 Uhr, 05.02.2021

\sum_{i = 0}^{({log}_{2} (n)) - 1} n^{2} \cdot {log}_{2} (\frac{n}{2^{i}})

Durch Logarithmusgesetze bin ich bis hierhin gekommen, weiß aber leider nicht mehr weiter.

\sum_{i = 0}^{({log}_{2} (n)) - 1} n^{2} \cdot ({log}_{2} (n) - i)

Wir duerfen die Abschaetzung

\sum_{i = 0}^{({log}_{2} (n)) - 1} (...) \leq \sum_{i = 0}^{\infty} (...)

verwenden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

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17:43 Uhr, 05.02.2021

Du könntest

n^{2}

in den log ziehen:

{log}_{2} (\frac{n^{3}}{2^{i}})

Roman-22

17:50 Uhr, 05.02.2021

@supporter

>

Du könntest

n 2

in den log ziehen:

> {log}_{2} (\frac{n^{3}}{2^{i}})

Originell! Welches neue Rechengesetz hast du da angewandt ;-)

@CheckeXDurch0
Was genau ist den die Aufgabe? Wenn die Summe zu berechnen ist, was soll dann die Abschätzung?
Außerdem

. .

. aus welche Menge ist

n

zu wählen? Dürfen wir von

n \in ℕ^{⋆},

also der Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null ausgehen?
Wie ist die obere Grenze der Summe zu verstehen. Da es eine ganze Zahl sein muss, müsste

n

entweder eine Zweierpotenz sein, oder aber wir müssten zB die Gauss-Klammer auf die obere Grenze anwenden. Soll das unnötige Klammerpaar, welches du bei der Summe um den Ausdruck

({log}_{2} (n))

machst, vielleicht eine Gaußklammer sein?

Deine Summe kannst du doch in zwei Teilsummen aufteilen. Bis auf einen Vorfaktor summiert die erste dann nur die Konstante 1 und die zweite die Laufvariable

i

. Beides einfach zu ermitteln:

\sum_{i = 0}^{N} 1 = N + 1

\sum_{i = 0}^{N} i = \frac{N \cdot (N + 1)}{2}

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18:16 Uhr, 05.02.2021

Roman:
Ich hab da etwas durcheinandergebracht.
Ist natürlich Unsinn.

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18:17 Uhr, 05.02.2021

Es geht um die "big

O

notation", also darum eine obere Schranke zu finden, deshalb duerfen wir diese Abschaetzung machen.

n

ist ∈ ℕ inklusive 0
Nein das scheinbar unnoetige Klammernpaar sollte nur zur Verdeutlichung dienen.
" Bis auf einen Vorfaktor summiert die erste dann nur die Konstante 1 "
Ist damit gemeint dass ich, nach dem Auseinanderziehen die erste Summe schreiben kann als

\sum_{i = 0} (n^{2} \cdot {log}_{2} n) \cdot 1

und alles als Vorfaktor vor die Summe ziehen kann?
Also in meinem Beispiel dann

n^{2} \cdot {log}_{2} (n) \cdot {log}_{2} (n) - 1 + 1

fuer die erste Summe?

N8eule

18:43 Uhr, 05.02.2021

Hallo
Wenn du weniger Text, dafür klarere Gleichungen schreibst, dann wird der Vorgang weniger missverständlich und zielführender.

Deine Größe

n

ist ja offensichtlich für diesen Hergang eine bekannt anzunehmende Größe.
Ferner ahne ich dringend, (da der Ausdruck als obere Grenze der Summe dient), dass

{log}_{2} (n) =

lb(n)
für praktische Anwendungen ganzzahlig gerundet wird.
Der Anschaulichkeit empfehle ich daher die Substitution (Vorschlag):

{log}_{2} (n) =

lb(n)

= p

So anschaulicher sieht man hoffentlich leichter:

\sum_{i = 0}^{p - 1}

n^2*lb(n/(2^i))

= \sum_{i = 0}^{p - 1}

n^2*

[

lb(n)

- i]

= n^{2} \cdot \sum_{i = 0}^{p - 1}

[

lb(n)

- i]

= n^{2} \cdot \sum_{i = 0}^{p - 1} [p - i]

= n^{2} \cdot {\sum_{i = 0}^{p - 1} [p] - \sum_{i = 0}^{p - 1} [i]}

= n^{2} \cdot {p \cdot [p] - \frac{p \cdot (p - 1)}{2}} = n^{2} \cdot \frac{p + 1}{2} \cdot p

Roman-22

18:50 Uhr, 05.02.2021

> n

ist ∈ ℕ inklusive 0
Sicher? Da wird

{log}_{2} (n)

aber lustig, wenn

n = 0

erlaubt sein soll!

>

fuer die erste Summe?
Fast!

\sum_{k = 0}^{l b (n) - 1} [n^{2} \cdot (l b (n) - 1)] = n^{2} \cdot (l b (n) - 1) \cdot \sum_{k = 0}^{l b (n) - 1} 1 = n^{2} \cdot (l b (n) - 1) \cdot l b (n)

Formal stimmt die Auswertung der Summe aber nur, wenn die obere Grenze

l b (n) - 1

eine natürliche Zahl ist. Denn im Gegensatz zu Schleifen bei Programmiersprachen, ist das Summensymbol in der Mathematik nur für ganzzahlige Grenzen definiert.
Man könnte also, wenn es um eine Abschätzung nach oben geht, das

n

durch das nächsthöhere

2^{k}

ersetzen und erhält dann die Abschätzung nach oben mit

2^{2 k} \cdot (k - 1) \cdot k

Mit der aufrundenden Gaußklammer geschrieben ist also

k = ⌈ l b (n) ⌉

Analog bei der zweiten Summe.

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19:14 Uhr, 05.02.2021

Vielen Dank an alle, das hat mir sehr weiter geholfen!

CheckeXDurch0 aktiv_icon

19:14 Uhr, 05.02.2021

Vielen Dank an alle, das hat mir sehr weiter geholfen!

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