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Aufsteigeoperator, Kommutator =1 HÄÄÄÄ

Universität / Fachhochschule

Tags: Kommutator

Kokowei aktiv_icon

06:36 Uhr, 26.03.2016

Ü8

2 a)

Operator a und

a \cdot

. Statt

\cdot

haben die in der Aufgabe ein hoch gestelltes Kreuzchen gemacht.. warum auch immer.

a =

(1/sqrt(2h))(sqrt(mw)

x + i

(1/sqrt(mw))(p_x) )

p_{x}

ist auch ein Operator.

x

nicht!!!

p_{x}

ist

= \frac{h}{i} \frac{d}{d x}

a*=(1/sqrt(2h))(sqrt(mw)

x - i

(1/sqrt(mw))p_x )

Jetzt soll der Kommutator

[a, a \cdot] = 1

sein ????

Wie soll das gehen?

[a, a \cdot] =

aa*

- a \cdot a

Und "in meiner Welt" ist das

= 0

Weil aa*=

a \cdot a

also multipliziert man a mit

a \cdot

dann fällt der komplexe Teil weg

Um das mMn zu zeigen, vereinfachen wir mal a und

a \cdot

a = x + i p

a \cdot = x -

ip

aa*=

(x + i p) (x -

ip)

= (x^{2}) -

ipx

+ i

+ p^{2}

Was mich zugegebenerweisen sowieso wundert ist, wie px bilden kann, wenn

p

ein Operator ist. schreibe ich

x

multipliziert

p

habe ich doch ein Problem, weil

p

ein Differentialoperator ist und eig. nach rechts wirkt.

Aber ansonsten sollte man doch sehen, dass

[a, a \cdot]

nicht 1 sein kann?

Hat jemand eine Ahnung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Kokowei aktiv_icon

08:12 Uhr, 26.03.2016

So habe in einem meiner Skripte eine Darstellung gefunden:

Im Anhang

ich gebe das mal vereinfacht wieder :

a = (x + \frac{d}{d x})

a \cdot = (x - \frac{d}{d x})

aa*=

(x + \frac{d}{d x}) (x - \frac{d}{d x}) = (x^{2}) - (\frac{d}{d x} x - x \frac{d}{d x}) - \frac{d^{2}}{{d x}^{2}}

Für

(\frac{d}{d x} x - x \frac{d}{d x}) = 1

soll

\frac{d x}{d x} + [x \frac{d}{d x} - x \frac{d}{d x}]

benutzt worden sein

[x \frac{d}{d x} - x \frac{d}{d x}]

soll

= 0

sein

Wie kommt man bitte von

(\frac{d}{d x} x - x \frac{d}{d x})

auf

\frac{d x}{d x} + [x \frac{d}{d x} - x \frac{d}{d x}]

DrBoogie aktiv_icon

09:11 Uhr, 26.03.2016

x

ist auch ein Operator, Multiplikation mit

x

.

Am besten betrachte, wie diese Operatoren auf Funktionen wirken.

p (f) = f_{x}

(Ableitung nach

x

x (f) = x \cdot f

.

Dementsprechend:

(p x) (f) = p (x (f)) = p (x \cdot f) = (x \cdot f)_{x} = f + x \cdot f_{x}

und

(x p) (f) = x (p (f)) = x (f_{x}) = x \cdot f_{x}

.
Daraus folgt:

(p x - x p) (f) = (p x) f - (x p) f = f + x \cdot f_{x} - x \cdot f_{x} = f

. Also,

(p x - x p) = I

(im Sinne des Operators:

I (x) = x

DrBoogie aktiv_icon

09:12 Uhr, 26.03.2016

Betrachte die Operatoren nicht für sich, nur wie sie auf Funktionen wirken!

Kokowei aktiv_icon

09:25 Uhr, 28.03.2016

Jo also, man kann es zwar auch ohne eine Funktion, auf die man einen Kommutator anwendet, zeigen. Aber dann macht man schneller einen Fehler.

Mit einer Funktion kam ich auch auf den Wert 1.

Mal ne andere Frage:

Wenn

[\hat{U}, \hat{O}] f (x) = i f (x)

Also eine komplexe Konstante ergibt. Was hat das für eine Bedeutung im Sinne der
Quantenmechanik

Also kommt 0 raus, dann hat man keine Unschärfe.

Und was bedeutet eine Relle (außer 0 ) oder eine Komplexe Konstante im Sinne der
Quantenmechanik?

DrBoogie aktiv_icon

09:36 Uhr, 28.03.2016

Eine Konstante (egal ob reell oder komplex) bedeutet Unschärfe, logischerweise.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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