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Aufstellen einer Wachstumsfunktion aus zwei Werten

Schüler

Tags: Analysis, aufstellen, Wachstumsfunktion, Wert

p91111 aktiv_icon

01:36 Uhr, 09.02.2013

Hallo liebe Foren-Mitglieder,

habe eine Beispiel-Aufgabe aus einem Mathebuch durchgerechnet. Sie ist ungefähr so aufgebaut:

-man untersucht das Wachstum einer Gruppe Mückenlarven

- 2

Stunden nach Beobachtungsbeginn(t=2) besteht die Gruppe aus

400

Larven

- 4

Stunden später (also

t = 6)

sind es bereits

1140

der Ansatz zur Berechnung ist bekannt:

N (t) = c \cdot a^{t}

Ich habe am Ende

a = 1,3

und

c = 237

herausbekommen,
das ist ja schön und gut und laut Buch auch korrekt.

Um es zu üben habe ich mir dann eine Tabelle von der Seite davor genommen und die gleiche Operation noch einmal durchgeführt. Die Tabelle schaut wie folgt aus:
(es geht um eine Bierhefe-Kultur, die gewogen wird)

t; N (t)

0; 3,0

1; 4,2

2; 5,9

3; 8,2

4; 11,5

5; 16,1

aus vorherigen Übungen habe ich geschlossen, dass die Exponentialfunktion hierzu lauten müsste (ungefähr):

3 \cdot {1,4}^{t}

.
Ich wollte allerdings diese Wachstumsfunktion um es zu überprüfen nur anhand zweier Werte der Tabelle herausbekommen(wie in der Übung mit den Mückenlarven), nur leider will das nicht funktionieren.
Ich bekomme immer eine Wachstumsrate von ca.

1,04

heraus und nicht von

1,4

.

Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen und es mir vorrechnen anhand zweier Werte aus dieser Tabelle? Geht das überhaupt?

Vielen Dank im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Aurel

01:55 Uhr, 09.02.2013

wie sieht deine Schlussfolgerung aus vorherigen Übungen genau aus?

Aurel

02:00 Uhr, 09.02.2013

N (t) = c \cdot a^{t}

N (0) = 3 = c \cdot a^{0} \Rightarrow c = 3

N (1) = 4,2 = 3 \cdot a^{1} \Rightarrow a = . .

p91111 aktiv_icon

13:02 Uhr, 09.02.2013

naja, ich habe probiert es so zu lösen:

N (t) = c \cdot^{t}

N (2) = 5,9 - \to c \cdot a^{2} = 5.9

N (5) = 16,1 - \to c \cdot a^{5} = 16,1

Aus I:

c = \frac{5,9}{a^{2}} - \to

in II reinsetzen:

\frac{5,9}{a^{2}} \cdot a^{5} = 16,1

daraus wird dann

: 5,9 \cdot a^{3} = 16,1

daraus

: a^{3} = \frac{16,1}{5,9}

dann folgt der Log. und herauskommt

a = 1,094 ...

- \to

aber das wäre doch falsch, da man aus der Tabelle herauslesen kann, dass

a = 1,4

ist. Und genau dort liegt mein Problem

: (

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14:00 Uhr, 09.02.2013

Nein, bilde einfach den Quotienten und ziehe daraus die 3te Wurzel.

p91111 aktiv_icon

14:04 Uhr, 09.02.2013

Ich weiß leider nicht genau, was du meinst. Du hast bestimmt recht, aber erklär es bitte anders.

LG

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14:13 Uhr, 09.02.2013

Allgemein gilt ja:

f (x + h) = f (x) \cdot a^{h}

Daher also:

f (2 + 3) = f (2) \cdot a^{3}

Das hast Du eh gemacht, weiter geht es:

\frac{f (5)}{f (2)} = a^{3}

a^{3} = \frac{16.1}{5.9}

a^{3} = 2.2788 ...

a = 2.2788 ... .^{\frac{1}{3}}

a = 1.3974 ... . .

.

Es ist hal schöner mit zwei benachbarten Werten, weil die vielen Kommastellen nicht auftreten.

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14:26 Uhr, 09.02.2013

$\sqrt[3]{a³} = \sqrt[3]{\frac{f (5)}{f (2)}} a = \sqrt[3]{\frac{f (5)}{f (2)}}$

p91111 aktiv_icon

14:33 Uhr, 09.02.2013

Zuallererst: VIELEN DANK :-)
eine Frage noch: ist es dort schlichtweg falsch einen Logarithmus anzuwenden?
Weil ich habe es so gemacht: Der Logarithmus von

16.1

durch

5.9

zur Basis 3 ist gleich

1,09 . .

. was ja bekanntlich falsch ist. Ist Ansatz über den Logarithmus einfach nur komplett falsch? Und wenn ja, warum?

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14:40 Uhr, 09.02.2013

Naja, Du suchst ja die Basis und kennst die Hochzahl und den Quotienten der Funktionswerte.

Ich sehe da jetzt keinen anderen Weg.

MrBlum aktiv_icon

14:51 Uhr, 09.02.2013

Hier würde man versuchen, die Zahl als Basis mit derselben Hochzahl zu bestimmen.

a^{3} = 64

a^{3} = 4^{3}

Jetzt kann man die Basis als gefunden betrachten.

p91111 aktiv_icon

14:54 Uhr, 09.02.2013

AHHH Ja, natürlich, hatte nen Denkfehler bezüglich des Logarithmus gemacht :-)
Vielen Dank :-)

MrBlum aktiv_icon

14:58 Uhr, 09.02.2013

Gerne :-)

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