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Aufsuchen einer partikulären Lösung

Universität / Fachhochschule

14:37 Uhr, 16.03.2010

Hallo,

Habe folgendes Problem:

$y^{'} - 3 y = x e^{x}$

Meine Lösungsschirtte:

Homogene Gleichung: $y_{0} = {C e}^{3 x}$

$y_{p} = (a x + b) * c e^{x} \Rightarrow {y_{p}}^{'} = a c e^{x} + (a x + b) * c e^{x}$

In der Ausgangsgleichung eingesetzt:

$a c e^{x} + (a x + b) * c e^{x} - 3 * (a x + b) * c e^{x} = x * e^{x} \Rightarrow a c e^{x} + - 2 c e^{x} (a x + b) = x * e^{x}$

Setze ich nun für x drei verschiedene Werte ein, um die Koeffizienten auszurechnen, erhalte ich für alle Koeffizienten 0.

Die vorgebene Lösung lautet:

${C e}^{3 x} - \frac{1}{4} (2 x + 1) e^{x}$

Würde mich um Lösungsvorschläge freuen.

MFG

14:56 Uhr, 16.03.2010

moin,
wofür nimmst du auch das

c

? mit

y_{p} = (a \cdot x + b) \cdot c \cdot e^{x} \Rightarrow y_{p} = a \cdot c \cdot x \cdot e^{x} + b \cdot c \cdot e^{x} = k_{1} \cdot x \cdot e^{x} + k_{2} \cdot e^{x}

(mit(

a \cdot c = k_{1}

und

b \cdot c = k_{2})

also

k_{1} \cdot e^{x} - 2 \cdot k_{1} \cdot x \cdot e^{x} - 2 k_{2} \cdot e^{x} = x \cdot e^{x}

koeffizientenvergleich :

k_{1} - 2 k_{2} = 0

- 2 k_{1} = 1 \Rightarrow k_{2} = - \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 k_{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow k_{2} = - \frac{1}{4}

\Rightarrow y_{p} = - \frac{1}{4} \cdot x \cdot e^{x} - \frac{1}{2} \cdot e^{x} = - \frac{1}{4} \cdot e^{x} \cdot (x + 2)

15:23 Uhr, 16.03.2010

Das c hab ich deswegen mitgenommen, da der Lösungansatz für Funktionen A*e^bx gleich C*e^bx lautet.

Hab auch überlegt ob man die Koeffizienten nicht zusammenfassen sollte, aber hab mich für den schwierigen Weg entschieden :-).

Habe noch eine Nachfrage zu einer Aufgabe. Die stell ich gleich hier hinterher, anstatt nochmals ein neuen Thread starten zu müssen:

$y^{'} - 5 y = 2 \cos (x) - \sin (3 x)$

Dann lautet doch für $y_{p} = C 1 \sin x + C 2 \cos x - C 3 \sin 3 x - C 4 \cos 3 x$ so wie für

${y^{'}}_{p} = C 1 \cos x - C 2 \sin x - C 3 * 3 \cos 3 x + C 4 * 3 \sin 3 x$ !???

Sprich man hat doch 4 Variabeln die gelöst werden müssen oder nicht?

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