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Aus 52 Karten - Hand mit allen Farben

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

katze455 aktiv_icon

10:16 Uhr, 24.11.2018

Hallo,
Kann mir bitte jemand mit der Lösung helfen?
Also ich dachte, die

(\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix})

sollen nicht multipliziert werden, sondern:

(\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) + 48

darf so was sein?
oder muss ich dazu noch die 4 Farben aus 4 Farben addieren?

(\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix})

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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10:20 Uhr, 24.11.2018

Dein Link klappt nicht.

katze455 aktiv_icon

10:23 Uhr, 24.11.2018

Ja ich habe mehrmals versucht und gehts nicht.
Ich schreibe dann die Aufgabe hier:
Gegeben sei ein handelsübliches Pokerspiel mit

52

Karten. Eine Hand ist eine ungeordnete Auswahl von fünf Karten aus dem Spiel. Betrachten Sie die folgende Frage und die Antwort darauf:
Frage: Wie viele Hände gibt es, in denen alle vier Farben vorkommen?
Antwort: Wir wählen von jeder Farbe eine Karte, dafür gibt es

13^{4}

Möglichkeiten. Für die Wahl der fünften Karte bleiben

48

Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

13^{4} \cdot 48

Hände, die alle vier Farben enthalten.
Ist die Lösung korrekt? Wenn nicht, was ist an der Antwort falsch? Wie würden Sie die Aufgabe bearbeiten?

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10:35 Uhr, 24.11.2018

13^{4} \cdot 48

wäre auch meine Lösung.

katze455 aktiv_icon

12:56 Uhr, 24.11.2018

Danke.
Ich denke immer wenn so was gefragt wurde, dann die Lösung ist falsch.
Ich vermute, hier muss man etwas zu der Antwort noch schreiben

Roman-22

13:06 Uhr, 24.11.2018

Die Lösung

13^{4} \cdot 48

ist nicht richtig, da sie jede Möglichkeit doppelt zählt.
Sie muss daher noch halbiert werden, also letztlich

13^{4} \cdot 24

.

Andere Sichtweise: Wenn in der Pokerhand jede Kartenfarbe vertreten sein soll, so muss es von einer Farbe zwei Karten geben und von den anderen drei Farben je eine.

1)

Wahl der Farbe die zweimal vertreten sein soll

\to 4

Möglichkeiten

2)

Anzahl der Möglichkeiten, aus dieser gewählten Farbe zwei Karten zu wählen

\to (\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) = 13 \cdot 6

3)

Wahlmöglichkeiten für jede der anderen drei Farben ist je

13,

daher

\to 13^{3}

.

Die genannten Zahlen müssen nun alle multipliziert und nicht addiert werden, da ja zB jede Wahl eine Herz-Karte mit jeder Wahl einer Treff-Karte kombinierbar ist.

Daher

\to 4 \cdot 13 \cdot 6 \cdot 13^{3} = 24 \cdot 13^{4} = 685464

Möglichkeiten

anonymous

03:18 Uhr, 25.11.2018

Ich pflichte dem bei.

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix})}^{3}

Wähle die doppelt vorkommende Farbe, von denen zwei Karten
und von den andersfarbigen jeweils eine, gibt

4 \cdot \frac{13 \cdot 12}{2} \cdot 13^{3} = 24 \cdot 13^{4} = 685.464

.

Unter der Prämisse, dass man die

5!

"Bilder" einer Hand,
also Permutationen der 5 Karten, nicht zählt...

Was passiert eigentlich dann ?
Sagen wir, fünf relevante Felder und dann darauf
je eine Karte und wiederum alle vier Farben darunter,
ich tippe

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix})}^{3} \cdot 3!,

also

685.464 \cdot 60 = 41.127.840

.

Ich kann mich aber auch irren...

katze455 aktiv_icon

10:36 Uhr, 25.11.2018

Vielen Dank!

anonymous

13:42 Uhr, 25.11.2018

Bei meiner letzten Formel kann man auch den Polynomialkoeffizienten
anbringen, wobei man den Binomialkoeffizienten auch als solchen
schreiben kann - dann wirkt es besonders kombinatorisch:

(\begin{matrix} 4 \\ 1,3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 2,11 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} 13 \\ 1,12 \end{matrix})}^{3} \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2,1,1,1 \end{matrix}) = 41.127.840,

wobei mich mal interessieren würde, ob es stimmt...

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