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Aus Differentialgleichung Gleichungsmatrix bestimm

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichung, Eigenvektor, Eigenwert, Gleichungsmatrix

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15:53 Uhr, 29.12.2011

Guten Tag zusammen, ich habe hier bei einer Aufgabe Starthilfe Probleme.
Wäre froh, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.

Frage:
Gegeben ist die Differentialgleichung:

ẋ(t)

= - x (t) + 2 y (t)

ẏ(t)

= x (t) - 3 y (t)

Man bestimme für die Gleichungsmatrix A die Eigenwerte und Eigenvektoren und ermittle den Stabilitätstyp der Nullösung.

Vielen Dank für eure Tipps

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mauthagoras aktiv_icon

16:48 Uhr, 29.12.2011

Hallo,

dazu brauchen wir zunächst die Matrix

A

, das heißt, wir müssen die Matrix finden, für die gilt, dass

(\begin{array}{c} \dot{x} (t) \\ \dot{y} (t) \end{array}) = A (\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array})

.
Hier ist das offenbar die Matrix

A = (\begin{array}{cc} - 1 & 2 \\ 1 & - 3 \end{array})

.

Wenn wir die Eigenwerte der Matrix haben, lässt sich schon etwas über die Stabilität sagen – Du kannst ja schon mal anfangen, diese zu bestimmen.

Perico aktiv_icon

20:55 Uhr, 29.12.2011

Vielen Dank ich hatte die gleiche Matrix, war mir aber nicht sicher.. werd dann mal weiter rechnen und es dann posten.

Perico aktiv_icon

10:59 Uhr, 30.12.2011

Eigenwerte bestimmen:

A \cdot x =

\cdot x

damit die Seite es besser anzeigen kann, schreibe ich für λ

\to r

Charakteristische Matrix:

A - r \cdot E = (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 1 & - 3 \end{matrix}) - r (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 - r & 2 \\ 1 & - 3 - r \end{matrix})

Charakteristische Gleichung mit Lösung:

det (A - r \cdot E) = | \begin{matrix} - 1 - r & 2 \\ 1 & - 3 - r \end{matrix} | = (- 1 - r) (- 3 - r) - 2

Determinante nach Null auflösen

\Rightarrow r^{2} + 2 r + 1 = 0; (r + 1) (r + 1) = 0

es gibt nur 1 Eigenwert nämlich "-1"

Ist das soweit korrekt? Jetzt muss ich noch den Eigenvektor herausfinden.

pwmeyer aktiv_icon

11:08 Uhr, 30.12.2011

Hallo,

muss es nicht heißen:

4 \cdot r

statt

2 \cdot r

?

Gruß pwm

Mauthagoras aktiv_icon

11:43 Uhr, 30.12.2011

Hallo,

ja, pwm hat Recht:

χ (λ) = (- 1 - λ) (- 3 - λ) - 2 = λ^{2} + 4 λ + 1

. Als Nullstellen ergeben sich dann

λ_{1} = - 2 + \sqrt{3}

und

λ_{2} = - 2 - \sqrt{3}

.

Nun sind also beide Eigenwerte negativ, was sagt das über Stabilität der 0 als Gleichgewichtspunkt aus?

Perico aktiv_icon

11:45 Uhr, 30.12.2011

Ah ok. Versuch nun die Eigenvektoren auszurechnen

Mauthagoras aktiv_icon

11:56 Uhr, 30.12.2011

Ich bin ja schon fertig...

Denk daran, dass Du weißt, dass die Matrix mit eingesetzten Eigenwert singulär ist, Du kannst also ohne Rechnung z.B. beim ersten Eigenwert schon hinschreiben:

(\begin{array}{cc} 1 - \sqrt{3} & 2 \\ 0 & 0 \end{array} ∣ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})

Perico aktiv_icon

16:16 Uhr, 30.12.2011

Ich habe jetzt lange überlegt, kann es sein, dass statt "1- √3"

\to

"1+√3" heissen müsste?

Ich habe für den ersten eigenvektor folgendes erhalten:

(\begin{matrix} 1 - \sqrt{3} & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

daraus ergibt sich:

x_{1} - x_{1} \cdot \sqrt{3} + 2 x_{2} = 0

wenn man das ausrechnet bekomme ich:

x_{1} = \sqrt[3]{4 x_{2}}

dann wäre der 1. Eigenvektor

(\begin{matrix} \sqrt[3]{4} \\ 1 \end{matrix})

und nun analog den 2. Eigenvektor ausrechnen:

(\begin{matrix} 1 + \sqrt{3} & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow x_{1} + x_{1} \cdot \sqrt{3} + x_{2} = 0

\Rightarrow x_{1} = (\sqrt[3]{\frac{x_{2}}{4}})

dann wäre der 2. Eigenvektor

(\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \\ 1 \end{matrix})

kann das sein?

Mauthagoras aktiv_icon

21:05 Uhr, 30.12.2011

Hallo,

sorry, dass ich jetzt erst reagieren kann.

Nein, das Vorzeichen stimmt:

- 1 - λ_{1} = - 1 - (- 2 + \sqrt{3}) = - 1 + 2 - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}

.

Das sind doch lineare Gleichungen - wie kommst Du darauf, die dritte Wurzel zu ziehen?

Also:

x_{1} (1 - \sqrt{3}) + 2 x_{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1} (1 - \sqrt{3}) = - 2 x_{2} \Leftrightarrow x_{1} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} x_{2} = (\sqrt{3} + 1) x_{2}

.
(Der letzte Schritt mit der 3. binomischen Formel) Daher sind die Vektoren

r (\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} \\ 1 \end{array})

r \in ℝ

, die Eigenvektoren zu

λ_{1}

.

Beim zweiten Eigenwert ergibt sich analog

r (\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} \\ 1 \end{array})

Perico aktiv_icon

10:33 Uhr, 04.01.2012

Vielen Dank für Eure Hilfe,

Ich wollte euch nur noch was kurz zeigen. habe von der Uni-Hannover noch eine ganz einfache universal Formel für die Berechnung von

2 x 2

Matrix gefunden.

http://www.iazd.uni-hannover.de/~erne/Mathematik1/dateien/maple/MB_5_2.pdf

\to

Seite 3

Aber vielen Dank noch

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