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Aus Lipschitz-Stetigkeit folgt Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

13:58 Uhr, 09.01.2013

Sei

f : ℝ \to ℝ

eine Lipschitz-stetige Funktion auf

ℝ,

falls es eine Konstante

c > 0

gibt, sodass fuer alle

x, y \in ℝ

gilt:

| h (x) - h (y) | \leq c \cdot | x - y |

z . Z . :

ist

h : ℝ

→

ℝ

eine Lipschitz-stetige Funktion auf

ℝ,

dann ist

h

auf ganz

ℝ

stetig, also:

| h (x) - h (y) \leq c \cdot | x - y | \to | h (x) - h (y) | < ε : | x - y | < δ

Hat wer einen Loesungsansatz fuer diesen Beweis?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

14:05 Uhr, 09.01.2013

Sei

x_{0} \in ℝ

. Du musst nun zu jedem

ε > 0

ein

δ > 0

finden, so dass für alle

x \in ℝ

mit

| x - x_{0} | < δ

gilt dass

| h (x) - h (x_{0}) | < ε

. Nun benutzt du natürlich, dass laut Voraussetzung

| h (x) - h (x_{0}) | \leq c \cdot | x - x_{0} | < c δ

gilt. Und siehst du nun wie du

δ

zu wählen hast?

12:31 Uhr, 10.01.2013

Setze

δ = \frac{ε}{c}

15:43 Uhr, 10.01.2013

Ganz genau.

16:47 Uhr, 10.01.2013

Super, danke!

17:00 Uhr, 10.01.2013

Gern geschehen.

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