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Aus einer Urne ziehen ohne zurücklegen

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Kugeln, Urne

gift99 aktiv_icon

13:48 Uhr, 29.08.2012

Aus einer Urne mit

15

weißen und 5 roten Kugeln werden 8 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

a)Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter den gezogenen Kugeln genau 3 rote Kugeln?
b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens 4 rote Kugeln dabei?

Ich hab mir bei der

a)

gedacht, dass die Reihenfolge egal ist, also es müssen einfach 3 Kugeln dran kommen. Das wären dann

\frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{18} = \frac{1}{114}

oder?

Bei der

b)

macht mir das Wort "mindestens" zu schaffen. Sollte ich da jetzt einfach die Wahrscheinlichkeit für nur 4 rote Kugeln ausrechnen und das wars?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

14:27 Uhr, 29.08.2012

Hossa ;-)

Rahmen: Urne = 15 weiße + 5 rote Kugeln, 8 Ziehungen ohne Zurücklegen.

a) Es ist nach genau 3 roten Kugeln gefragt. Wie du schon schreibst, ist die Reihenfolge egal. Aber es müssen auch 5 weiße Kugeln gezogen werden. Würden zuerst alle 3 rote Kugeln und danach alle 5 weißen Kugeln gezogen, wäre die Wahrscheinlichkeit

\underset{= r o t}{\underset{⎵}{\frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{18}}} \cdot \underset{= w e i s s}{\underset{⎵}{\frac{15}{17} \cdot \frac{14}{16} \cdot \frac{13}{15} \cdot \frac{12}{14} \cdot \frac{11}{13}}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{19} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{17} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{11}{1} = \frac{3 \cdot 11}{19 \cdot 6 \cdot 17 \cdot 4} = \frac{33}{7752}

Hieran siehst du auch, dass alle Ziehungsreihenfolgen gleichwertig sind. Die Nenner sind unabhängig von der Reihenfolge, nur die Zähler ändern ihre Position. Daher musst du obiges Ergebnis noch mit der Anzahl der Möglichkeiten multiplizieren, wie sich die 3 roten und die 5 weißen Kugeln beim Ziehen mischen können. Diese Anzahl ist gleich dem Binomialkoeffizienten

(\binom{8}{3})

. Daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

P = (\binom{8}{3}) \frac{33}{7752} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \frac{33}{7752} = 56 \cdot \frac{33}{7752} = \frac{1848}{7752} = \frac{77}{323} \approx 23.84 %

Bei Teil b) bedeutet "mindestens", dass du die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Fälle addieren musst:

4 rote + 4 weiße
5 rote + 3 weiße
6 rote + 2 weiße
7 rote + 1 weiße
8 rote

Die Berechnung dieser Einzelwahrscheinlichkeiten funktioniert analog zu der oben gezeigten...

Ok?

gift99 aktiv_icon

14:46 Uhr, 29.08.2012

Okay, die Aufgaben sind damit eigentlich schon verstanden. Vielen Dank!
Du hast dich, aber bei der

b)

sicherlich verschrieben, du hast "weiß" und "rot" vertauscht, denn wir haben ja nur 5 rote Kugeln insgesamt.

DerDepp aktiv_icon

15:45 Uhr, 29.08.2012

Stimmt, da habe ich mich vertan. Da es nur 5 rote Kugeln gibt, brauchst du natürlich nur die ersten beiden Fälle zu berechnen:

4 rote + 4 weiße
5 rote + 3 weiße

um die Frage nach "mindestens" 4 roten Kugeln zu beantworten... ;-)

gift99 aktiv_icon

15:55 Uhr, 29.08.2012

Ich habe für 4 rote

+ 4

weiße

0,751

Für 5 rote

+ 3

weiße 1

Ich muss die Ergebnisse dann addieren oder?

prodomo aktiv_icon

08:05 Uhr, 30.08.2012

Addieren ja, aber das Ergebnis für

4 w + 4 r

ist falsch. Am einfachsten benutzt du hypergeometrische Verteilung. Jede Kombination

4 w,4 r

besteht aus einem Quartett roter und einbem Quartett weißer Kugeln. Rote Quartette gibt

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) = 5

und weiße

(\begin{matrix} 15 \\ 4 \end{matrix}) = 1365

. Daraus lassen sich

5 \cdot 1365

Achter zusammenstellen. Dagegen lassen sich aus den verfügbaren

20

Kugeln insgesamt

(\begin{matrix} 20 \\ 8 \end{matrix}) = 125970

Achter bilden. Mit "günstige:mögliche " gibt das

\frac{1365 \cdot 5}{125970} = 5,42 %

. Bei

5 r

sind es analog

0,036 %

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