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Aus partiellen Ableitungen "Stammfunktion" finden?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

OphiuchuS

21:15 Uhr, 29.04.2010

Hallo!

Ich habe hier zwei partielle Ableitungen derselben unbekannten Funktion:

\frac{\partial g (u, v)}{\partial u} = ln (u sin (u) - v)

\frac{\partial g (u, v)}{\partial v} = tan (- u + v^{3})

Ich soll die Ursprungsfunktion finden, für

u

und

v

etwas anderes einsetzen und dann wieder ableiten (das ist nicht das Problem), das Problem ist, ich weiss nur nicht wie ich die ursprüngliche Funktion finden soll. Integrieren? Aber wie? Integrieren in mehreren Variablen hatten wir noch nicht, und in einer bekomme ich das Integral nicht hin.

Kann mir jemand erklären, was zu tun ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

21:37 Uhr, 29.04.2010

Ist auch mein erstes Mal, aber ich denke ich habs.
Vorher aber noch eine Frage, wurde wirklich nach

x

und

y

abgeleitet? Nicht nach

u

und v?

Ansonsten:
Zuerst beide integrieren:

g (u, v) = \int \frac{\partial g (u, v)}{\partial x} \partial x = ln (u \cdot sin u - v) \cdot x + A

g (u, v) = \int \frac{\partial g (u, v)}{\partial y} \partial y = tan (v^{3} - u) \cdot y + B

Nun kann man bei

\int \frac{\partial g (u, v)}{\partial x} \partial x

einfach A durch

tan (v^{3} - u) \cdot y + C

ersetzen. Denn wenn man wieder partiell nach

x

ableiten würde, würde das ganze, genauso wie es das A würde, wieder wegfallen, da das

y

(und

u

und

v

auch) einfach als Konstante behandelt werden würde.
Alternativ kann man auch bei

\int \frac{\partial g (u, v)}{\partial y} \partial y

das

B

durch

ln (u \cdot sin u - v) \cdot x + C

ersetzen, um die Funktionen aneinander anzupassen.
Dadurch ergibt sich:

g (u, v) = ln (u \cdot sin u - v) \cdot x + tan (v^{3} - u) \cdot y + C

Wobei das jetzt blöd ist, dass in der Integrationskonstante

C

nun auch

u

und

v

enthalten sein können.

OphiuchuS

21:54 Uhr, 29.04.2010

Hallo!

Erstmal danke für die Antwort! Du hast selbstverständlich recht, es wird nach

u

bzw

v

abgeleitet.

Was mich jetzt interessiert ist (analog bei der zweiten Funktion) folgendes (ich nehme an

x

wird durch

u

ersetzt?):

g (u, v) = \int \frac{\partial g (u, v)}{\partial u} \partial u = ln (u sin (u) - v) u + A

ich verstehe nicht wo auf der linken Seite das

\partial u

herkommt. Und zur rechten Seite, man muss wirklich nur die eine Variable

(+

Konstante) hinzufügen um das Integral zu erhalten? Wird die innere Funktion wirklich nicht angetastet?

anonymous

22:05 Uhr, 29.04.2010

Nun, das

\partial x

kam daher, da ich nach

x

integriert habe also versucht habe die partielle Ableitung wieder umzukehren.

Und man kann jetzt nicht einfach im Nachhinein

x

durch

u

ersetzen.
Beispiel:

f (x) = a \cdot x

\Rightarrow f' (x) = a

f (x) = x \cdot x

\Rightarrow f' (x) = 2 x

Wenn man nun im Nachhinein das a einfach durch

x

ersetzen würde, erhielte man ja

f' (x) = x,

was aber nicht mit den

2 x

übereinstimmt, die man erhält, wenn man das vorher ersetzt.
Das gleiche passiert bei der Integration.

Du musst jetzt also schon die partiellen Ableitungen korrekt nach

u

bzw.

v

integrieren.
Hast du das schon versucht?
Im Prinzip muss man denke ich nämlich die partiellen Ableitungen integrieren und dann die Funktionen einander anpassen, ohne dass sich die Ableitungen wieder ändern.

Edit: Mein Computer sagt mir gerade, dass es keine elementare Stammfunktion für

ln (u \cdot sin (u))

integriert nach

u

gibt. Also wird es dann, denke ich, schwer (oder wahrscheinlich unmöglich) sein, eine elementare Stammfunktion für die beiden partiellen Ableitungen zu finden.
Wie lautet denn die eigentliche Aufgabenstellung? (Du hast ja auch geschrieben, dass du

u

und

v

noch irgendwie ersetzen musst,oder?)

Edit: Oder wird

x

durch

v

statt durch

u

ersetzt?
Ich bin dann mal off für heute.

OphiuchuS

22:40 Uhr, 29.04.2010

Danke für deine Mühe!

Also die Original Angabe lautet:

Es sei

\frac{\partial g (u, v)}{\partial u} = ln (u sin (u) - v)

und

\frac{\partial g (u, v)}{\partial v} = tan (- u + v^{3})

Man bestimme

h (t) = \frac{d g (2 t, t^{2} + 1)}{d t}

Also hab ich mir den Rechengang so vorgestellt, dass ich erst die ursprüngliche Funktion

g (u, v)

finde und anschließend für

u = 2 t

und für

v = t^{2} + 1

einsetze und dann nach

t

ableite, was meiner Aufassung nach bloß noch Routine sein dürfte.

Ich habe schon versucht die beiden Teilfunktionen nach jeweils

u

bzw

v

zu integrieren, aber das war, wie ich auch schon in meinem ersten Post geschrieben habe, leider nicht von Erfolg gekrönt, es überrascht mich deshalb nicht wenn du sagst, dass die