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Aus x*sinx Potenzreihe entwickeln

Schüler

Tags: reih, Reihenentwicklung

Gerhart332 aktiv_icon

15:20 Uhr, 07.08.2020

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe leider falsch gelöst und weiß nicht wieso meine Vorgehensweise falsch war:

Es soll eine Potenzreihe zur Funktion

f (x) = x \cdot sin (x)

gebildet werden (Entwicklungspunkt

0)

.

Ich habe zuerst viele Ableitungen gebildet (mithilfe der Produktregel).

erste Ableitung an Stelle

0 : 0

2. Abl.

: 2

3. Abl.

: 0

4. Abl.

: - 4

- \to

Muster entdeckt: Wenn man sich die Nullen wegdenkt, so gibts ein alternierendes Vorzeichen und die Zahlen sind immer gerade und unterscheiden sich um 2

Somit habe ich mir die n-te Ableitung aufgeschrieben:

f^{n} (0) = {(- 1)}^{n + 1} \cdot 2 n

Die entsprechende Taylorreihe müsste dann

T (x) =

Summe(n=0;infinity)

\frac{{(- 1)}^{n + 1} \cdot 2 n}{n!} \cdot x^{n}

sein.

Das sei aber falsch

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Gerhart332 aktiv_icon

15:28 Uhr, 07.08.2020

PS: Bitte in "Forum für Studenten" reintun, das klappt bei mir nie (obwohl ich das so angegeben habe)

pivot aktiv_icon

16:04 Uhr, 07.08.2020

Hallo,

warum nimmst du nicht einfach die Reihe von sin(x) und multiplizierst sie dann mit x?

Gruß
pivot

ledum aktiv_icon

16:07 Uhr, 07.08.2020

Hallo
obwohl du schreibst, dass alle geradzahligen Ableitungen 0 sind, steht

x^{n}

in deiner Reihe?
man muss ja auch nicht

x \cdot sin (x)

neu mit Ableitungen berechnen, sondern die Reihe für

sin (x)

mit

\sum {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}!

mit

x

multiplizieren: das ändert in der Reihe nur das

x^{2 n + 1} \in x^{2 n + 2}

falsch bei dir ist auch

f^{n} (0) = {(- 1)}^{n + 1} \cdot 2 n

bei

f^{4}

wäre das 8
Gruß ledum
(verschieben kann ich deine Frage leider nicht)

ledum aktiv_icon

16:07 Uhr, 07.08.2020

Hallo
obwohl du schreibst, dass alle geradzahligen Ableitungen 0 sind, steht

x^{n}

in deiner Reihe?
man muss ja auch nicht

x \cdot sin (x)

neu mit Ableitungen berechnen, sondern die Reihe für

sin (x)

mit

\sum {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}!

mit

x

multiplizieren: das ändert in der Reihe nur das

x^{2 n + 1} \in x^{2 n + 2}

falsch bei dir ist auch

f^{n} (0) = {(- 1)}^{n + 1} \cdot 2 n

bei

f^{4}

wäre das 8
Gruß ledum
(verschieben kann ich deine Frage leider nicht, aber vielleicht änderst du in deinem Profil den Schüler in Student)

N8eule

16:12 Uhr, 07.08.2020

Hallo
Ich habe heute Müsliriegel verdrückt.

> 1

Stunde nach dem Aufstehen noch keinen,

> 2

Stunden nach dem Aufstehen waren's

2,

> 3

Stunden nach dem Aufstehen kam ich nicht dazu,

> 4

Stunden nach dem Aufstehen hab ich wieder 4 eingekauft,

Wie war's nach

> 5

Stunden ?

> 6

Stunden ?

> 7

Stunden ?

> 8

Stunden ?

Merkst du was?
Aus vier Rechnungen auf unendlich viele zu schließen kann eben schon mal gehörig daneben gehen.
Du behauptest
"Muster entdeckt".
Aber ist das Muster, das du entdeckt zu haben glaubst, auch richtig?
Wie kommst du von

0; 2; 0; - 4

auf

{(- 1)}^{n + 1} \cdot 2 \cdot n

?

Das bisschen Reihe gälte auch für:

{(- 1)}^{n + 1} \cdot 2^{n}

oder für

{(- 1)}^{n + 1} \cdot (1 + \frac{n}{2} \cdot (n + 1))

Abgesehen davon berücksichtigen alle diese unsere Reihen nicht die dazwischen liegenden Nullen.

Zusammenfassend:
Deine Vermutung, aus

0; 2; 0; - 4

schon das korrekte 'Muster' erkannt zu haben, war vielleicht ein wenig vorschnell...

Gerhart332 aktiv_icon

16:35 Uhr, 07.08.2020

Danke

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