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Ausdruck Null, wenn Determinante Null ist
Universität / Fachhochschule
Determinanten
Tags: Determinanten
 
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Hi, ich hätte kurz eine allgemeine Frage. Es gilt ja: wenn Aber warum ist das so? Die Formel benutzt man ja bei der Eigenwertberechnung und ich würde sie gerne verstehen. Bin für jede Antwort dankbar. |
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Hallo, > Es gilt ja: > A−Eλ=0 > wenn > det(A−Eλ)=0 Das wage ich zu bezweifeln. Gegenbeispiele sind zuhauf zu finden. Konkret: Folgt aus denn schon ? Mfg Michael |
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Aber warum stimmt dann die Herleitung? Man schlussfolgert hier ja das was ich oben geschrieben habe, oder?  |
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Hallo Nein, man sucht einen Vektor mit den nennt man Eigenvektor. die Gleichung ist dasselbe wie und jetzt solltest du wissen , dass Mx=0 nur nicht trivial lösbar ist, wenn der(M)=0 ist oder was weisst du über Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen? man sucht also die für die es Lösungen gibt! Wenn das eine Vorlesungsmitschrift ist, solltest du auch den wichtigsten Text dazu schreiben, der prof hat siche gesagt, damit das GS eine Lösung hat muß.... Gruß ledum |
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Entschuldigung, dass ich mich erst wieder so spät melde. Danke erst mal für eure Antworten. Also, ich habe grundsätzlich alles verstanden bis auf den letzten Schritt in meinem geposteten Bild. Ich weiß, dass (A-λE)⋅x=0 immer Null ist für . Darum ist das auch kein Eigenvektor und man muss nach A-λE=0 suchen. Aber wie man dann darauf kommt, dass die Determinante Null werden muss, verstehe ich nicht. "Wenn das eine Vorlesungsmitschrift ist, solltest du auch den wichtigsten Text dazu schreiben, der prof hat siche gesagt, damit das GS eine Lösung hat muß..." . Nein ,das ist leider keine Mitschrift. Ich will jetzt nicht über meinen Matheprofessor lästern, aber ich muss mir leider alles selber beibringen (wenn du verstehst was ich meine) . Das Bild stammt aus folgendem Video: www.youtube.com/watch?v=PwyAHKFiDxY Leider wird darin auf meine Frage nicht näher eingegangen. |
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Hallo wenn der!=0 hast du eine Matrix von vollem Rang . bei matrix Rang . alle Zeilen oder spaltenvektoren sind linear unabhängig, es gibt also keine Lösung für aus der 0 Vektor. odder wenn der!=0 kannst di in eine obere Dreiecksmatrix ohne Nullzeile umformen, dann ergibt sich direkt dass alle Und meist ist, wenn man eine Vorlesung schlecht versteht daran schuld, dass man nicht jede Vorlesung vor der nächsten gründlich nacharbeitet (geschätzt 2 Stunden pro Vorlesungsstunde. Wenn man sich wie auf der Schule drauf verlässt, dass man das in der nächsten Stunde ja nochmal wiederholt, scheitert man. Alle die nicht Genies sind oder regelmäßig nacharbeiten sind überzeugt dass der oder die Prof am Nichtverstehen Schuld sind. Und die meisten youtube Sachen sind sehr oberflächlich, es sei denn es handelt sich um echte Uni Vorlesungen. xStatt youtube nimm dir ein gutes Buch vor, und arbeite die Kapitel echt durch , die in der Vorlesung vorkommen. Gruß ledum |
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Also du sagst, wenn die Determinante gleich Null ist, habe ich eine Matrix mit vollem Rang. . beim Umformen in die Dreiecksmatrix fällt keine Zeile (bzw. Spalte) weg. Aber warum habe ich dann keine Lösung? Ich hätte doch dann genau eine Lösung, oder nicht? . Achso, du gehst von der Einheitsmatrix aus. Die hat ja hinter dem "Strich" lauter Nullen. Also: Aber die Determinante von dieser Matrix wäre doch oder? |
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Hallo ich geh nicht von der Einheitsmatrix aus, wie kommst du darauf? aber auch die hat und deshalb nur die trivialen Lösungen dasselbe hast du wenn du eine obere Dreiecksmatrix hast ohne Nullziele, aus der letzten Zeile folgt aus der darüber dann usw bis wenn die ist kannst du eine Zeile zu 0 machen, und damit hast du für mindestens ein was verstehst du denn nun nicht? Beschäftige dich ndoch nochmal damit, wann ein GS eine Losung hat. Dass die lösung von Ax=0 immer Vektor als Lösung hat hattest du doch selbst gesagt, jede lineare bildet 0 auf 0 ab! Das nennt man die triviale Lösung und über die reden wir hier ja nicht. Gruß ledum |
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"wenn der!=0 hast du eine Matrix von vollem Rang . bei n×n matrix Rang . alle Zeilen oder spaltenvektoren sind linear unabhängig, es gibt also keine Lösung für aus der 0 Vektor." Wenn alle Zeilen linear unabhängig sind gibt es doch genau eine Lösung? Also . Im Gegensatz dazu gibt es keine bzw. unendlich viele Lösungen, wenn eine Zeile wegfällt. So habe ich das verstanden. Also: "1. Eindeutige Lösung Es gibt eine eindeutige Lösung, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix der Anzahl der Unbekannten entspricht. Anmerkung: Dies ist genau dann der Fall, wenn alle Gleichungen linear unabhängig sind. rang(A)=rang(A|b)=n 2. Unendlich viele Lösungen Es gibt unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten . rang(A)=rang(A|b)<n 3. Keine Lösung Es gibt keine Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A nicht dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix entspricht" Deine Aussage verwirrt mich gerade ein bisschen xD |
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Hallo, offensichtlich verstehst Du gar nicht, worüber Du da eigentlich schreibst: Es geht hier NICHT um INhomogene Gleichungssysteme, sondern um HOMOGENE Gleichungssysteme! "3. Keine Lösung" - Bei HOMOGENEN Gleichungssystemen gibt es immer mindestens eine Lösung und zwar den Nullvektor! "Wenn alle Zeilen linear unabhängig sind gibt es doch genau eine Lösung? Also . x1=2,x2=3,x3=6" - Wenn es bei HOMOGENEN Gleichungssystemen genau eine Lösung gibt, dann ist das der Nullvektor, weil der immer eine Lösung ist! Eine Lösung ist als einzige Lösung eines HOMOGENEN Gleichungssystems ausgeschlossen! In der Mathematik sind halt Abbildungen der Art gesucht, die auch für gelten, die also nicht genau diese eine Lösung, den Nullvektor, haben. Der Nullvektor erfüllt diese Gleichung natürlich auch und das sogar mit jedem aber dass das so ist, ist Grundwissen und nicht interessant. Interessant sind die Fälle, bei denen auch andere diese Gleichung erfüllen. Das werden sie . nicht bei jedem aber vielleicht doch bei dem einen oder anderen . Und damit es irgendein anderes als den Nullvektor gibt, darf für diese die Lösung des Gleichungssystems NICHT EINDEUTIG sein. Und wenn die Lösung, die ja immer existiert, NICHT EINDEUTIG sein darf, dann muss es unendlich viele Lösungen geben. Und jetzt schau nach, wann es unendlich viele Lösungen gibt! Richtig: "Es gibt unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten ." Und was ist äquivalent dazu? Richtig: Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist Null! |
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"In der Mathematik sind halt Abbildungen der Art A⋅x→=λ⋅x→ gesucht, die auch für x→≠0→ gelten, die also nicht genau diese eine Lösung, den Nullvektor, haben. Der Nullvektor erfüllt diese Gleichung natürlich auch und das sogar mit jedem λ, aber dass das so ist, ist Grundwissen und nicht interessant. Interessant sind die Fälle, bei denen auch andere x→ diese Gleichung erfüllen. Das werden sie . nicht bei jedem λ, aber vielleicht doch bei dem einen oder anderen λ." Ja, das kann ich nachvollziehen. "Und damit es irgendein anderes x→ als den Nullvektor gibt, darf für diese λ die Lösung des Gleichungssystems (A-λ⋅E)⋅x→=0→ NICHT EINDEUTIG sein." Achso, wenn sie eindeutug wäre, dann würde sich wieder der Nullvektor ergeben. . Lösung: Nullvektor. Im Gegensatzt dazu: Lösung: "Und wenn die Lösung, die ja immer existiert, NICHT EINDEUTIG sein darf, dann muss es unendlich viele Lösungen geben." Die Lösung existiert ja immer, da der Einheitsvektor die Gleichung immer erfüllt. Also kann es bei einer nicht eindeutigen Lösung nicht keine Lösungen geben. Wenn die Lösung nicht eindeutig ist gibt es also immer unendlich viele Lösungen. Das ist auch logisch, denn so etwas wie das kann nicht vorkommen: "Und jetzt schau nach, wann es unendlich viele Lösungen gibt! Richtig: "Es gibt unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten ."" Das ist mir soweit bekannt. Der Rang der erweiterten und der reinen Koeffizientenmatrix ist ja gleich, da als Lösung ja der Nullvektor herauskommt. "Und was ist äquivalent dazu? Richtig: Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist Null!" Das wusste ich noch nicht. Also wenn die Determinate Null ist fliegt mindestens eine Spalte bzw. Zeile heraus? Danke für all eure Bemühungen. Ich weiß, ich bin ein harter Fall :-D) |
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Hallo "Der" Einheitsvektor existiert nicht und ein Einheitsvektor kann sehr wohl Lösung sein! den Ausdruck den du am Ende hingeschrieben hast Matrix = Vektor gibt es nicht, was meinst du wirklich? Gruß ledum |
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1. Ach, da habe ich mich vertippt. Ich meinte natürlich den Nullvektor. 2. Ich wüsste nicht, wie man hier eine erweiterte Koeffizientenmatrix schreibt. Der Vektor sollte eigentlich die Erweiterung der Koeffizientenmatrix sein. Es gilt ja laut Bummerang, dass wenn die Determinante Null ist mindestens eine Spalte bzw. Zeile herausfliegt. Wie viel genau herausfliegen sieht man erst durch lösen, oder? Achja und frohe Weihnachten :-) |
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