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Ausgleichsgerade durch drei Punkte

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Tags: Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Vektorraum

Valonte aktiv_icon

22:20 Uhr, 25.01.2014

Hallo Zusammen,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter..

Diese drei Punkte sind gegeben:

P 1 = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}), P 2 = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

und

P 3 = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Durch diese soll eine Ausgleichsgerade gelegt werden.

Die Lösungen von linearen Ausgleichsproblemen sind als die Minima von

min_{z} {| A \cdot z - b |}_{2}^{2}

gegeben.

Nun soll ich die Matrix A und den Vektor

b

bestimmen.

Bei anderen ähnlichen Aufgaben waren die Punkte immer verteilt,
also ein Funktionswert für

x_{1}

einer für

x_{2},

usw..
hier habe ich aber ja das Problem, dass ich

z . B

. für

x_{2} = 1

einmal den Wert 0 von

P 2

und einmal den Wert 1 von

P 3

habe.
Wie kann ich die Matrix A dennoch aufstellen?
Und wie soll ich

b

ermitteln?

Hoffe ihr könnt weiterhelfen.
Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

anonymous

23:58 Uhr, 25.01.2014

Hallo
Du brauchst dir keine Sorgen um die Tatsache machen, dass für

x = 1

zweierlei ("widersprüchliche") y-Werte benannt sind.
Diese Minimal-Fehlerquadrat-Problemstellungen laufen immer darauf hinaus, dass Summen von

x -

oder y-Werten genutzt werden. Und Summen kannst du ganz problemlos bilden, auch wenn auf den ersten Blick "widersprüchliche" Eingangsdaten vorliegen.

Maguro aktiv_icon

00:23 Uhr, 26.01.2014

Danke schonmal, leider verstehe ich nicht ganz wie ich die Summen bilden muss um dann auf A und

b

zu kommen..

Wäre nett wenn du mir das erklären könntest :-)

anonymous

10:48 Uhr, 26.01.2014

Du scheinst unbedingt mit Vektoren und Matrizen arbeiten zu wollen oder sollen. Ich muss bekennen, damit bin ich nicht so versiert.
Wenn du Hilfe von mir erwartest, dann gestatte, dass ich in gewöhnlichen linearen Gleichungen argumentiere. Zumal es sich bei deiner Aufgabe ja um eben solche lineare Gleichungen handelt.

Lass uns zuerst einige Übereinkünfte klären:
Sei

i

der Index der drei Punkte.
Seien

x

und

y

die Koordinatenbezeichner der Punktkoordinaten.
also:

P_{i} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

Für minimal-Fehlerquadrat-Problemstellungen musst du immer stets erst einmal einen Ansatz festlegen. Hier ist dir schon vorgegeben, dass es sich um eine lineare Gleichung handeln soll. Also:

y = m \cdot x + c

Und

m

und

c

sind die Koeffizienten, die du bestimmen sollst.
Umstellen:

0 = m \cdot x + c - y

Bei minimal-Fehlerquadrat-Problemstellungen gehst du auch immer davon aus, dass die Eingangsdaten nicht exakt stimmig sind, also die Gerade nicht exakt getroffen wird. Wir gehen von (kleinen) Fehlern aus.
Sei der Fehler (die Abweichung) am i-ten Punkt:

F_{i} = m \cdot x_{i} + c - y_{i}

Fehlerquadrat-Summe:

S = \sum F_{i}^{2} = \sum {(m \cdot x_{i} + c - y_{i})}^{2}

Diese Fehlerquadratsumme soll minimal werden.
Wir stellen uns die gesuchten Koeffizienten

(m, c)

als variabel vor, und variiren sie so geschickt, dass eben ein Minimum raus kommt.
Bei Variation von

m :

dS/dm

= 0 = . .

.
Bei Variation von

c :

dS/dm

= 0 = . .

.

In kurzen Zügen war das eigentlich schon der Ansatz. Dein Ziel ist jetzt 'einfach' das konsequent weiterzuführen und die Unbekannten

(m, c)

zu errechnen.
Viel Erfolg!
Wenn du Schwierigkeiten hast, kann ich gerne noch viele Tasten drücken...

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