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Ausklammern

Schüler Berufsfachschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Ausklammern

ludmila aktiv_icon

20:44 Uhr, 31.10.2009

Hallo

ich habe sehr große Probleme beim ausklammern. ich kann das einfach nicht ich weiß auch nicht warum! Es liegt wohl daran, dass ich von einer Hauptschule aufs Gymnasium gewechselt habe. Da tauchen dann schon sehr große Defiziete auf. Ich weiß einfach nicht wie man ausklammert: Gibt es dafür Regeln ? oder wie macht man das? ich stehe echt auf dem Schlau. Als Beispiel habe ich hier eine e-Funktion. Also wie man

x

ausklammer weiß ich ja also

z . B

y = 2 x^{2} + 2 x

Das waären ja dan

y = x (2 x + 2)

Also damit habe ich keine Probleme aber jetzte kommen die e-funktionen Als Beispiel habe ich diese:
y´=

e^{x} (e^{x} - 2) + e^{x} \cdot e^{x}

so wie man sieht habe ich hier die produktregel angewendet um die erste ableitung zu bilden . aber ich komme jetzte nicht weiter ich habe zwart die lösung für diese aufgabe aber ich muss es ja verstehen wie man jetzte weiter vorgeht also man klammernt nun aus aber wie gehe ich dabei vor?? wäre euch sehr dankbar wenn mir das jemand erklären könnte uns ja hier ist die endlösung der aufgabe

y = e^{x} (2 e^{x} - 2)

aber ich will so gerne verstehn wie man das ausklammert da oben. ich hoffe ich bekomme eine schelle antwort. danke schonmal im voraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Nullstellen bestimmen
Rechnen mit Klammern

Shipwater aktiv_icon

20:50 Uhr, 31.10.2009

e^{x} (e^{x} - 2) + e^{x} \cdot e^{x}

e^{x}

ausklammern:

e^{x} (e^{x} - 2 + e^{x})

e^{x} (2 e^{x} - 2)

Und dann kann man auch noch ne 2 ausklammern:

2 e^{x} (e^{x} - 1)

Shipwater

bruchspezialistin aktiv_icon

20:52 Uhr, 31.10.2009

Du hast ja zwei Produkte:

e^{x} \cdot (e^{x} - 2)

und

e^{x} \cdot e^{x}

. Beide Produkte haben als gemeinsamen Faktor

e^{x}

. Deshalb kannst Du diesen ausklammern:

e^{x} \cdot (e^{x} - 2) + e^{x} \cdot e^{x} = e^{x} \cdot (e^{x} - 2 + e^{x})

Nun zusammenfassen:

e^{x} \cdot (e^{x} - 2 + e^{x}) = e^{x} \cdot (2 e^{x} - 2)

ludmila aktiv_icon

01:00 Uhr, 01.11.2009

die lösungen habe ich ja selber aber ich brauche dazu erklärungen und das bitte ganz in einzelschritten weil ich kann das überhaupt nicht und ich kann so mit euren antworten leider nichts anfangen. wäre sehr nett wenn es hier jemanden gibt der mir daas in einzelschritten nochmal alles von neu erklärt also wie das ausklammern funktuniert speziel an meiner beispiel aufgabe hier. wäre echt dankbar für hilfreiche antworten

ludmila aktiv_icon

01:30 Uhr, 01.11.2009

kann mir das niemand erklären?

ludmila aktiv_icon

01:53 Uhr, 01.11.2009

ich klammere doch nur den hinteren teil aus oder als da

e^{x} \cdot e^{x}

oder?

ludmila aktiv_icon

02:28 Uhr, 01.11.2009

?????? brauche nachhilfe im ausklammern? wäre mal nett wenn mir jemand schreibt weil ich versuche es die ganze zeit aber ich verstehe und begreife es aber irgendwie nicht!

bruchspezialistin aktiv_icon

08:28 Uhr, 01.11.2009

Einmal nachfragen reicht. Deine Frage landet dann unter den Rückfragen und ist so für alle Helfer auffindbar. Mitten in der Nacht sind natürlich nicht so viele online. Also bitte immer etwas Geduld haben. :-)

Wenn Du eine Summe (bzw. Differenz) hast, suchst Du in den einzelnen Summanden gleiche Faktoren. Diese kannst Du dann ausklammern. Es ist egal, ob dieser Faktor ein

x

ist,

e^{x}

oder sonst irgendetwas.

Beispiel:

15 a b + 25 a b c = 3 \cdot 5 \cdot a \cdot b + 5 \cdot 5 \cdot a \cdot b \cdot c

In beiden Summanden stecken die Faktoren

5, a

und

b

. Deshalb kannst Du diese ausklammern und Du erhältst:

15ab

+

25abc = 5ab

\cdot (3 + 5 c)

Denn:

5 a b \cdot 3 = 15 a b

und

5 a b \cdot 5 c = 25 a b c

Deine Aufgabe:

e^{x} \cdot (e^{x} - 2) + e^{x} \cdot e^{x}

Hier hast Du die Summanden bereits in Faktoren zerlegt. Im ersten Summanden

e^{x} \cdot (e^{x} - 2)

ist der 1. Faktor

e^{x}

. Im zweiten Summanden

e^{x} \cdot e^{x}

sind sowohl der 1. Faktor als auch der 2. Faktor

e^{x}

. Somit haben beide Summanden den Faktor

e^{x}

einmal gemeinsam und Du kannst diesen ausklammern.

e^{x} \cdot (e^{x} - 2) + e^{x} \cdot e^{x} = e^{x} \cdot ((e^{x} - 2)) + e^{x})

Danach kannst Du zusammenfassen:

e^{x} \cdot ((e^{x} - 2)) + e^{x}) = e^{x} \cdot (e^{x} - 2 + e^{x}) = e^{x} \cdot (2 e^{x} - 2)

Nun kannst Du noch weiter vereinfachen, da in der Klammer beide Terme eine 2 als Faktor besitzen.

e^{x} \cdot (2 e^{x} - 2) = e^{x} \cdot (2 \cdot e^{x} - 2 \cdot 1) = e^{x} \cdot (2 \cdot (e^{x} - 1) = 2 e^{x} (e^{x} - 1)

Du hättest auch bereits am Anfang der Aufgabe ausmultiplizieren, danach zusammenfassen und dann ausklammern können:

e^{x} \cdot (e^{x} - 2) + e^{x} \cdot e^{x}

= e^{x} \cdot e^{x} - e^{x} \cdot 2 + e^{x} \cdot e^{x}

= 2 \cdot e^{x} \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}

= 2 \cdot e^{x} \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x} \cdot 1

= 2 e^{x} (e^{x} - 1)

ludmila aktiv_icon

12:18 Uhr, 01.11.2009

aber

e^{x} \cdot e^{x}

ist doch

e^{2} x

oder nicht? weil du schreibst ja das es

2 e^{x}

sind???

bruchspezialistin aktiv_icon

12:31 Uhr, 01.11.2009

Habe ich das? Das wäre natürlich falsch, aber ich sehe nur, dass ich

2 \cdot e^{x}

ausgeklammert habe. Und dann steht in der Klammer ein "+":

e^{x} + e^{x} = 2 \cdot e^{x}

Und:

e^{x} \cdot e^{x} + e^{x} \cdot e^{x} = 2 \cdot e^{x} \cdot e^{x}

(was man auch als

2 e^{x + x} = 2 e^{2 x}

schreiben kann).

Falls Du nicht einverstanden bist, nenne mir bitte die genaue Stelle.

ludmila aktiv_icon

12:40 Uhr, 01.11.2009

die 3.letzte zeile also wären da klammern drum hättest du es ja ausmulziplitiert aber so sieht es aus als wenn du es ausmultipliziert hättes! naja och schreibe mal auf wie ich das alles machen würde. danach würde ich mich freuen wenn du mir dazu dein kommemtar sagen würdest

ludmila aktiv_icon

12:48 Uhr, 01.11.2009

also ich wäre so vorgegangen
nochmal hier die fuktion:

y = e^{x} (e^{x} - 2)

jetzte ertmal produktregel anwenden

y´=

e^{x} \cdot (e^{x} - 2) + e^{x} \cdot e^{x}

Dann würde ich alles ausmultiplizieren!

y´=

e^{2} x - 2 e^{x} + e^{2} x

danach würde ich ausklammern

y´=

e^{x} (e^{x} - 2 + e^{x})

und dan zusammen fassen

y´=

e^{x} (2 e^{x} - 2)

so und dann wäre das auch alles also ich merke gerade, dass es ja eigentlich dasselbe ist was du gemacht hast! ich würde jetzte aber nicht mehr die 2 ausklammern ich würde das so stehen lassen! mh naja mal gucken ob ich das jetzte wirklich verstanden habe ich mache mal eben die 2.Ableitung zu dieser funktion um zu schauen ob ich das verstanden habe ! wäre nett wenn du mir das dann kontrollieren würdest . danke

bruchspezialistin aktiv_icon

12:56 Uhr, 01.11.2009

Richtig, es kommt beides auf dasselbe heraus. Was Du jetzt gemacht hast ist richtig. Die 2 musst Du nicht unbedingt ausklammern.

[

Für die Darstellung hier: Damit auch das

x

im Exponent dargestellt wird, musst Du übrigens den gesamten Exponenten

2 x

in Klammern

()

schreiben.

]

Was die beanstandete Zeile angeht: Das ist schon richtig so. Ich habe nur

e^{x} \cdot e^{x} + e^{x} \cdot e^{x}

zusammengefasst.

e^{x} \cdot e^{x} - e^{x} \cdot 2 + e^{x} \cdot e^{x}

= e^{x} \cdot e^{x} + e^{x} \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}

= 2 \cdot e^{x} \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}

ludmila aktiv_icon

13:08 Uhr, 01.11.2009

ok ich hier kommt nun mein versuch zur 2.Ableitung

also ertmal wende ich die produktregel an

y´=

e^{x} \cdot (2 e^{x} - 2) + 2 e^{x} \cdot e^{x}

danach multipliziere ich es aus

y´=

2 e^{2} x - 2 e^{x} + 2 e^{2} x

danach ausklammern

y´=

e^{x} (2 e^{x} - 2 + 2 e^{x})

dann zusammenfassen

y´=

e^{x} (4 e^{x} - 2)

so wäe nett wenn du mir sagen könntest ob das richtig ist!

bruchspezialistin aktiv_icon

13:44 Uhr, 01.11.2009

Ja, ist richtig.

[

Nur die Exponenten sind Dir bei der Darstellung wieder verrutscht.]

bruchspezialistin aktiv_icon

13:48 Uhr, 01.11.2009

Und Du kannst Dir den Schritt des Ausmultiplizierens sparen und gleich ausklammern.

e^{x} \cdot (2 e^{x} - 2) + 2 \cdot e^{x} \cdot e^{x}

= e^{x} \cdot (2 e^{x} - 2 + 2 e^{x})

= e^{x} \cdot (4 e^{x} - 2)

ludmila aktiv_icon

13:58 Uhr, 01.11.2009

danke für deine hilfe ich habe es nun verstanden!

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