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Auslöschungseffekte

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Sonstiges

Tags: äquivalente Formulierung, Auslöschungseffekt, Numerik

Olli23 aktiv_icon

20:36 Uhr, 13.11.2012

Hallo!

Ich brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils eine äquivalente Formulierung der folgenden Ausdrücke, um das
Auftreten von Auslöschungseffekten zu verringern.
(a)

l n (x - \sqrt{x^{2} - 1})

für

x ≫ 1

.
(b)

(- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}) / 2 a

für

b < 0

bzw.

∣ a ∣

und

∣ c ∣ ≪ 1

.
(c)

s i n h (x) = \frac{1}{2} (e x p (x) - e x p (- x))

für

x \approx 0

.

Weder in meinem Skript noch in Büchern oder im Internet finde ich etwas dazu, was mir helfen könnte. Es wäre also nett, wenn ich hier Hilfe bekommen könnte.

LG Olli

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

22:39 Uhr, 14.11.2012

x - \sqrt{x^{2} - 1} = \frac{(x - \sqrt{x^{2} - 1}) \cdot (x + \sqrt{x^{2} - 1})}{x + \sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}

Olli23 aktiv_icon

11:57 Uhr, 15.11.2012

Erstmal danke für die Antwort.
Ich verstehe aber trotzdem noch nicht, was mir das jetzt gebracht hat bzw. was es mit dem Auslöschungseffekt auf sich hat und wie man das auf die andern beiden Aufgabenteile anwenden könnte?!

LG

anonymous

15:02 Uhr, 15.11.2012

In der Originaldarstellung ist

x

bzw.

\sqrt{x^{2} - 1}

für sehr große

x

so nahe beisammen, dass Taschenrechner und Computer manchmal wegen der Differenz den Wert 0 liefern. Durch die Umformung entsteht eine Summe, die diesen Effekt abbremst.

studentin87

15:11 Uhr, 15.11.2012

Rundungsfehler können bei manchen mathematischen Ausdrücken dazu führen, dass diese Ausdrücke Null werden, also "ausgelöscht" werden. Um dieses zu vermeiden, formt man die Ausdrücke durch Anwenden binomischer Formeln (zur Brucherweiterung), Reihendarstellung oder sonstiges um. Weiteres findest du in

http://books.google.de/books?id=BsD_7bn8huEC&pg=PA28&lpg=PA28&dq=sinus+hyperbolicus+ausl%C3%B6schung&source=bl&ots=NInZCb7q82&sig=3fMzbnmQ_EO0OJu28qnMuJ8IGj8&hl=en&sa=X&ei=PmWaULf6LsXAtAbG9oGQDA&sqi=2&redir_esc=y#v=onepage&q=sinus%20hyperbolicus%20ausl%C3%B6schung&f=false

Dort findest da dann auch beim runterscrollen die Lösung für den

s i n h (x)

. Man nutzt hier die Reihendarstellung der e-Funktion. Das Problem bei dem

s i n h (x)

ist, dass dieser für kleine x Null ist, da dann

e^{x}

und

e^{- x}

annäherend übereinstimmen. Für gerades

x

kürzen sich jetzt die Reihen weg, und bei ungeraden erhält man bei Subtraktion der Reihen genau

\frac{2 x^{k}}{k!}

für alle k. Das allgemeine Ergebnis ist also letztendlich

\sum_{k = 0, k \ u n g e r a d e}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}

Eine Erläuterung für Teil a) findest du hier:

http://books.google.de/books?id=pYGlrzHZ98sC&pg=PA19&lpg=PA19&dq=ausl%C3%B6schungseffekt+numerik&source=bl&ots=audsaH6uNM&sig=f8bFM0WA1BYa2GD2C9In12QmtgI&hl=en&sa=X&ei=NOGkUMv7B4jIsga-uoDQDA&redir_esc=y#v=onepage&q=ausl%C3%B6schungseffekt%20numerik&f=false

Hier brauchen wir nur das Argument im Logarithmus näher zu betrachten. Wenn

x

immer größer wird, ist

(x^{2} - 1)

ungefähr

x^{2}

, die Wurzel daraus also folglich x und

x - \sqrt{x^{2} - 1}

Null.

l n (0)

ist aber nicht definiert! Durch die Umformung von Vektorfan erhälst du nun, dass

l n (\frac{1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}})

=

l n (1) - l n (x + \sqrt{x^{2} - 1})

=

- l n (x + \sqrt{x^{2} - 1})

, da

l n (1) = 0

. Dieser Ausdruck ist nun für große

x

ungefähr

- l n (2 x)

, also nicht mehr Null.

Nun zu Teil b.
Ähnlich wie eben erkennt man, dass der Zähler für sehr kleine a und c ungefähr Null ist. Um dieses zu beheben, ziehst du erst das Minus aus dem Zähler und multiplizierst dann Nenner und Zähler mit

b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}

, um die dritte binomische Formel im Zähler anzuwenden. Du erhälst dann

- \frac{4 a c}{2 a (b - \sqrt{b^{2} - 4 a c})}

. Du siehst nun, dass der Nenner ungefähr

- 4 a b

, alles also ungefähr

- \frac{c}{b}

, also nicht mehr Null ist.

Hoffe, dass es dir hilft *g*

Viele Grüße

Olli23 aktiv_icon

09:19 Uhr, 17.11.2012

Super! Vielen, vielen Dank für die tolle Erklärung!

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