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Aussage Vereinfachen

Universität / Fachhochschule

Tags: Aussagenlogik, Aussagenlogik Informatik, informatik

anonymous

18:23 Uhr, 24.01.2015

Aufgabe

B 1 : G \Rightarrow A

B 2 : - G \Rightarrow F

B 3 : A \Rightarrow S

B 4 : F \Rightarrow K

B 5 : - V

B6:-D)

B 7 : - (- G \land - (V \land D))

Vereinfachen Sie Bedingungen

B 1 \land B 2 \land B 3 \land B 4 \land B 5 \land B 6 \land B 7

gemäß den Gesetzen und Rechneregeln der Aussagenlogik um.

Hallo Zusammen,
Ich habe es bis hier hin vereinfacht

- G \lor (A \land G) \lor (F \land - A) \lor (S \land - F) \lor (K \land - V \land - D \land G) \lor V \lor D

Ich kann aber nicht glauben das dies die Finale Form darstellt. Gibt es noch weitere möglichkeiten gemäß den Gesetzen und Rechneregeln der Aussagenlogik die Bedingung zu vereinfachen ?.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

19:40 Uhr, 24.01.2015

Ich denke du hast da irgendwo einen Fehler gemacht.

Wenn beispielsweise

G

falsch und A wahr ist, so ist

B 1

falsch. Dann ist auch

B 1 \land ... \land B 7

falsch. Jedoch ist dein Ausdruck wahr, da

\neg G

wahr ist.

Laut meinem PC lässt sich

B 1 \land ... \land B 7

A \land G \land S \land \neg V \land (\neg F \lor K) \land \neg D

vereinfachen. Das habe ich jetzt allerdings nicht selbst nochmal überprüft.

Edit: Bei

B 6

soll es schon

\neg D

heißen oder? Ich weiß nicht was die Klammer dahinter soll.

anonymous

22:47 Uhr, 24.01.2015

B 6

soll ¬D sein war ein Tippfehler

Ich hab alles nochmals nachgerechnet und habe gesehen das ich bei der bedingten eleminierung ein Fehler gemacht habe. Deswegen habe ich alle implikationen nochmals umgeschrieben.Und bin jetzt an diesem Punkt

G

∨

F

∧ A ∧

- S

∨

- F

∨

K

∧

- V

∧

- D

∧

G

∨

V

∨

D

ab hier weiss ich aber nicht mehr weiter?
Was ich auch noch nicht so ganz verstehen ist wie man die Klammern setzt.Mir ist bewusst das es etwas mit der Bindung zutun hat. Aber wie ist das jetzt wenn

z . b

G

∨

F

∧ A ∨

B

da steht.Wird dann so

G

∨

(F

∧

A)

∨

B

oder

(G

∨

F)

∧

(A

∨

B)

geklammert?

anonymous

23:12 Uhr, 24.01.2015

Sorry, das in meinem vorigen Beitrag hat zum Teil nicht gestimmt.
Wenn

G

falsch und wahr ist, dann ist

B 1

natürlich wahr.

Daher:
Wenn

G

falsch ist und

F

falsch, dann wäre

B 2

falsch und damit ein Widerspruch zu deiner ursprünglichen Vereinfachung.

Nun zu deiner jetzigen Version:
Wenn

G

wahr ist und A falsch, dann ist

B 1

falsch, und daher auch

B 1 \land ... \land B 7

falsch.
Jedoch ist deine Aussage wegen

G \lor ...

dann wahr.
(Evtl. ändert sich das dann, wenn das mit den Klammern geklärt ist.)

Am weitesten verbreitet ist folgende Reihenfolge:
1. Negationen

(\neg)

2. Konjunktionen

(\land)

3. Disjunktionen

(\lor)

4. Konditional

(\to)

5. Bikonditional

(\leftrightarrow)

Die meisten Leute und Programme werden sich an diese Reihenfolge halten, wenn nichts anderes vereinbart wurde.

Demnach würde

G \lor F \land A \lor B

in der Regel als

G \lor (F \land A) \lor B

interpretiert werden.

anonymous

17:55 Uhr, 25.01.2015

G

∨

((F

∧

A)

∧

- S)

∨

- F

∨

(((K

∧

- V)

∧

- D)

∧

G)

∨

V

∨

D

So habe es jetzt geklammert.Ich kann aber hier keine weitere verkürzung erkennen

anonymous

19:04 Uhr, 25.01.2015

Ich bin immer noch der Meinung, dass es nicht passt:

Wenn

G

wahr ist und

A

falsch, dann ist

B 1

falsch, und daher auch

B 1 \land ... \land B 7

falsch.
Jedoch ist deine Aussage wegen

G \lor ...

dann wahr.

Wie wäre es denn, wenn du die Zwischenschritte aufschreibst, dann könnte ich bei der Fehlersuche helfen.

- -

Wenn du trotzdem wissen willst, was man noch vereinfachen könnte, sehe ich beispielsweise folgende Vereinfachung:

G \lor ((F \land A) \land \neg S) \lor \neg F \lor (((K \land \neg V) \land \neg D) \land G) \lor V \lor D

Kommutativität von "

\lor

G \lor (((K \land \neg V) \land \neg D) \land G) \lor ((F \land A) \land \neg S) \lor \neg F \lor V \lor D

Absorption "

G \lor (... \land G) \Leftrightarrow G

G \lor ((F \land A) \land \neg S) \lor \neg F \lor V \lor D

Das kann man dann noch weiter verkürzen zu:

G \lor (A \land \neg S) \lor \neg F \lor V \lor D

Das stimmt jedoch, wie bereits geschrieben nicht mit

B 1 \land ... \land B 7

überein.

anonymous

19:48 Uhr, 25.01.2015

B 1 : G \Rightarrow A

B 2 : - G \Rightarrow F

B 3 : A \Rightarrow S

B 4 : F \Rightarrow K

B 5 : - V

B 6 : - D

B 7 : - (- G \land - (V \land D))

G \Rightarrow A \land - G \Rightarrow F \land A \Rightarrow S \land F \Rightarrow K \land - V \land - D \land - (- G \land - (V \land D))

Schritt 1. Äuflösen nach deMorgan

- (- G \land - (V \land D))

G \Rightarrow A \land - G \Rightarrow F \land A \Rightarrow S \land F \Rightarrow K \land - V \land - D \land G \lor V \lor D

Schritt 2. Bedingte Eleminierung( X⇒Y

\Leftrightarrow - X \lor Y)

von

G \Rightarrow A . .

- G \lor A \land - G \Rightarrow F \land A \Rightarrow S \land F \Rightarrow K \land - V \land - D \land G \lor V \lor D

Schritt 3. Bedingte Eleminierung( X⇒Y

\Leftrightarrow - X \lor Y)

von

- G \Rightarrow F . .

G \land - A \lor G \lor F \land A \Rightarrow S \land F \Rightarrow K \land - V \land - D \land G \lor V \lor D

Schritt 4. Bedingte Eleminierung( X⇒Y

\Leftrightarrow - X \lor Y)

von

A \Rightarrow S . .

- G \lor A \land - G \land - F \lor - A \lor S \land F \Rightarrow K \land - V \land - D \land G \lor V \lor D

Schritt 5. Bedingte Eleminierung( X⇒Y

\Leftrightarrow - X \lor Y)

von

F \Rightarrow K . .

G \land - A \lor G \lor F \land A \land - S \lor - F \lor K \land - V \land - D \land G \lor V \lor D

Schritt 6. Absorption von

G \land - A \lor G

G \lor F \land A \land - S \lor - F \lor K \land - V \land - D \land G \lor V \lor D

anonymous

21:26 Uhr, 25.01.2015

Gleich beim ersten Schritt mit deMorgan ist etwas schief gelaufen:

\neg (\neg G \land \neg (V \land D))

ist äuivalent zu

G \lor V \land D

und nicht zu

G \lor V \lor D

.

Warum wird bei Schritt 3

\neg G \land A

plötzlich zu

G \land \neg A

???

Moment! Ich glaube ich weiß warum. Und da ist auch schon ein weiterer Fehler:

B 1 \land B 2 \land B 3 \land B 4 \land B 5 \land B 6 \land B 7

ergibt eingesetzt

(G \Rightarrow A) \land (\neg G \Rightarrow F) \land (A \Rightarrow S) \land (F \Rightarrow K) \land \neg V \land \neg D \land \neg (\neg G \land \neg (V \land D))

.

Du hast allerdings einfach fälschlicherweise ein paar Klammern weggelassen, so dass bei dir

G \Rightarrow A \land \neg G \Rightarrow F \land A \Rightarrow S \land F \Rightarrow K \land \neg V \land \neg D \land \neg (\neg G \land \neg (V \land D))

was nach üblicher Operatorrangfolge als

G \Rightarrow (A \land \neg G) \Rightarrow (F \land A) \Rightarrow (S \land F) \Rightarrow (K \land \neg V \land \neg D \land \neg (\neg G \land \neg (V \land D)))

interpretiert werden würde. Das ist jedoch ein ganz anderer Ausdruck.

Ich hoffe dir ist das klar. Hier ein anderes Beispiel zur Verdeutlichung:

Wenn du beispielsweise

x \cdot y

für

x = 2 + 5 = 7

und

y = 3

berechnen sollst, so sollte man auf

x \cdot y = (2 + 5) \cdot 3 = 7 \cdot 3 = 21

kommen. Wenn man das jetzt so machen würde, wie du es bei deinen Vereinfachungen gemacht hast, käme man fälschlicherweise auf

x \cdot y = 2 + 5 \cdot 3 = 2 + 15 = 17

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