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Aussagen: lineare Unabhängigkeit; Skalarprodukt

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukte

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Skalarprodukt

virus01 aktiv_icon

23:18 Uhr, 19.01.2011

Hallo,

Ich soll für folgende Aussagen entscheiden ob sie wahr oder falsch sind:

1)Jede nichtleere Teilmenge einer linear unabhängigen Menge ist wiederum linear unabhängig.
2)Jede echte Obermenge einer linear unabhängigen Menge ist linear abhängig.
3)Jede Menge von paarweise linear unabhängiger Vektoren ist linear unabhängig.
4)Jedes Paar orthogonaler Vektoren ist linear unabhängig.
5)Jede lineare Hülle der Dimension n > 1 ist linear unabhängig.

Meine Antworten:
1) Wahr
2) Muss nicht sein. Der Satz ist für keinen Raum definiert. Also falsch
3)Weiß ich nicht. Weiß nicht was die Aufgabe genau meint.
4) Wahr.
5) Lineare Hülle ist ja die Menge aller Linearkombinationen. Nun weiß ich nicht ob die Linearkombinationen l.u. sein sollen oder ob diese auch l.a. sein kann.

Und noch eine Aufgabe:

Vektoren $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ mit $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} | = 1$ und $∡ (\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}) = 60 °$ gegeben.

a) Welchen Winkel schließen die Vektoren $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ und $2 \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{a}$ ein?

b) Für welche Werte von t aus R stehen $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ und $2 \overset{⇀}{b} + t * \overset{⇀}{a}$ senkrecht aufeinaner?

Ich weiß ja was ein Skalarprodukt ist usw. aber irgendwie komm ich nicht weiter weil nur die Beträge gegeben sind. Kann mir jemand einen Hinweiß geben, wie ich weitermachen kann.

Vielen Dank

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Sina86

03:42 Uhr, 20.01.2011

Hi,

also, zu deinen Aussagen:
1.) Richtig
2.) Richtig, aber die Begründung ist seltsam. Hier wäre ein Gegenbeispiel angebracht:
Menge:

{(1, 0)}

; Obermenge:

{(1, 0), (0, 1)}

Letzteres ist die Standardbasis vom

ℝ^{2}

und daher linear unabhängig.
3.) Gemeint ist, man nehme eine Menge von Vektoren, und paarweise bedeutet, man greift sich zwei x-beliebige Vektoren heraus und bildet mit diesen eine 2-elementige Untermenge. Diese kontrolliert man dann auf lineare Unabhängigkeit. Überprüfe die Aussage doch mal an einem Beispiel, z.B.:

{(1, 0), (0, 1), (1, 1)}

4.) Ist eine gemeine Frage, aber deine Antwort ist falsch. Es gibt einen Vektor, der zu allen anderen Vektoren (sogar zu sich selbst) orthogonal ist. Das ist der Nullvektor. Allerdings ist jede Menge, die den Nullvektor enthält, linear abhängig.
5.) Diese Aussage ist falsch. Denn wenn

V = l i n (v_{1}, . . ., v_{k})

ist mit

k \geq n

und mindestens 2 linear unabhängigen

v_{i}

´s, dann ist in V z.B. auch der Vektor

w = 2 \cdot v_{1}

enthalten. Dadurch hat das lineare Gleichungssystem

λ \cdot v_{1} + μ \cdot w = 0

unendlich viele Lösungen. Eine ist z.B.

λ = 2, μ = - 1

. Damit ist die Menge linear abhängig.

Zur 2. Aufgabe:
Das (euklidische) Skalarprodukt gibt an:

< v, w > = \frac{\cos α}{∣ v ∣ \cdot ∣ w ∣}

, wobei

α

der orientierte Winkel (also der Winkel gegen den Uhrzeigersinn) von v nach w ist.

Lieben Gruß
Sina

virus01 aktiv_icon

10:32 Uhr, 20.01.2011

Danke Sina,

Weiß nicht ob ich die 3 richtig verstanden hab. In deinem Beispiel {(1,0),(0,1),(1,1)} sind alle 3 erst mal l. abhängig. Wenn ich nun paarweise 2 herausnehme kann ich ja 3 mal eine Untermenge bilden, weil ich 3 Möglichkeiten habe Paare herauszunehmen, oder? Paarweise sind sie linear unabhängig.

In der 2. komme ich nicht weiter. Habe nach der Definition dann das hier:

$< v, w > = \cos α = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3}$

Wie muss ich jetzt da v + w nehmen? Man muss ja Komponentenweise addieren, hab aber hier Produkte.

Sina86

13:11 Uhr, 20.01.2011

Also, die 3 hast du richtig verstanden. Die Aussage ist also falsch.

Beid der 2. Aufgabe hast du nun:

α = \arccos (< v, w >) = 60 °

Nun berechnest du

\frac{\cos β}{∣ v + w ∣ ∣ 2 v - w ∣} = < v + w, 2 v - w > = < v, 2 v - w > + < w, 2 v - w > = 2 < v, v > - < v, w > + 2 < w, v > - < w, w >

= 2 \cdot ∣ v ∣^{2} - < v, w > + 2 < v, w > - ∣ w ∣^{2} = 2 + < v, w > - 1 = 1 + \cos α

Nun gilt

∣ v + w ∣ = \sqrt{< v + w, v + w >} = \sqrt{< v, v > + 2 < v, w > + < w, w >} = \sqrt{2 + 2 \cos α}

∣ 2 v - w ∣ = \sqrt{< 2 v - w, 2 v - w >} = \sqrt{4 < v, v > - 4 < v, w > + < w, w >} = \sqrt{5 - 4 \cos α}

\Rightarrow ∣ v + w ∣ ∣ 2 v - w ∣ = \sqrt{(2 + 2 \cos α) (5 - 4 \cos α)} = \sqrt{10 - 8 \cos α + 10 \cos α - 8 \cos^{2} α} = \sqrt{10 + 2 \cos α - 8 \cos^{2} α}

Und das kann man jetzt in die obige Formel einsetzen, nach

β

umstellen und ausrechenen. Allerdings kommen mir die Zahlen etwas seltsam (sehr kompliziert) vor. Du solltest es deshalb noch einmal nachrechnen.

virus01 aktiv_icon

15:23 Uhr, 21.01.2011

Okay, vielen vielen Dank Sina.

aleph-math aktiv_icon

16:52 Uhr, 21.01.2011

Hallo!
Thema/Frage ist zwar off. geschlossen, ich möchte (dennoch) einen "Nachschlag" offerieren, da ich 1) zum log. Teil Einwände habe, u. 2) zum rech. Teil gern ein Exempel nicht unbedingt statuieren, aber doch vorstellen will. M.M. ist das nicht soo kompliz., wie "Sina" meint(e).

1) Mich stört einige Terminologie, was - falls die "Störung" Konsens findet - die Aufg. tw. obsolet macht.

Lin. (Un)abhäng. ist eine Eigenschaft von Vektoren, u. auch da nur mehrerer V. unterein. M.M. heisst das: a) nicht die Menge ist lin. (un)abh. o. nicht, sond. nur deren Elemente, wenn es überhpt. eine Vekt.menge ist (der Mengenbegriff ist ja bei weitem umfassender); b) Bsp. mit einem Vekt. (s. Unter-/Obermenge) sind nicht nur irrelevant, sond. überhpt. unbestimmt/undef. (so wie 0/0 etc.).

Die fragl. (zu beweis.) Aussagen müss(t)en m.M. deshalb so heissen:
1)Jede nichtleere Teilmenge einer *Menge von linear unabhäng. Vektoren* ist wiederum linear unabhängig.
---
Edit: Bis jetzt (19h) wurde der Beitrag nur bis hier angezeigt; viell klappt's jetzt..

2)Jede echte Obermenge einer *Menge von linear unabh. Vektoren* ist linear abhängig.
3)Jede Menge von paarweise linear unabhäng. Vektoren ist (selbst) *eine Menge von linear unabh. Vektoren*.
4)Jedes Paar orthogonaler Vektoren (*gleicher Dim., dh. aus dem selben Vektorr.*) ist linear unabhängig.
5)Jede lineare Hülle der Dimension n > 1 ist linear unabhängig.

Und meine Lösg. wäre:
@1) Allgem. gültig Falsch; Wenn n die Dim. des betreff. Vektorr. ist, sind n+k (k>0) Vekt. zwangslf. *lin. abh.*. Man muss also den Umfang (Mächtigk.?) der Menge berücksicht. u. stattdessen sagen:
"Jede Teilmenge mit *mind. 2 u. max. n Elementen* einer *Menge linear unabhäng. Vektoren der Dim. n* ist wiederum linear unabhängig." Dann ist die Auss. richtig=wahr.

@2) Gemeint ist m.M. die komplim. Auss. zu 1):
"Jede echte Obermenge mit *mind. 3 Elementen* einer *Menge linear unabhäng. Vektoren der Dim. n* ist linear abhängig." So ist die Auss. falsch. "Menge linear unabhäng. Vektoren der Dim. n" muss ja nicht ALLE Vekt. des Vektorr. umfassen; wenn ich also eine solche Untermenge mit n-1 Elementen nehme, kann deren Obermenge mit n Elementen durchaus wieder lin. unabh. sein; richtig=wahr ist die Aussage hingegen, wenn ich die Ausgangsmenge n Elemente besitzt (vgl. Einleit. zu 1).

@3) wie 1): In allgem. Gültigk. falsch. Auch hier ist die Anzahl Elemente relevant: "paarweise" heisst, wie "Sina" richtig sagt, jeweils 2 Vekt. Diese müssen aber nicht BEIDE verschieden sein; zB. seien 3 Vekt. a, b, c (ich spar mir die Vektorz.) aus IRxIR gegeben; dann sind alle 3 lin. ABH. (3>n=2), obwohl a,b bzw. b,c bzw. a,c jeweils lin. UNabh. sein können.

@4) Richtig=Wahr. Was heisst (and. formul.) "lin. abh."?
A: Die beiden Vekt. sind parallel; was heisst das?
A: Sie schliessen einen Winkel von 0° ein; was heisst das?
A: Wg. cos0=1 ist ihr Skalarprod. a*b = |a||b|cos(a,b) nicht Null (ausser einer der beiden V. ist "Nullvekt.", das schliesse ich jedoch aus; "Nullv." ist kein Vekt. sond. ein Punkt).
Q: Was heisst "orthogon."? -> A: Das Skalarprod. = 0; Widerspruch! Also können in dem Fall a, b nicht lin. abh. sein, folgl. sind sind sie "lin. unabh." (qed., "quod erat demonstrandum").

@5) Mit "Hülle" bin ich offen gest. nicht vertraut (zumind. nicht unter diesem Namen), wenn jedoch "Sinas" Def. stimmt (u. ich zweifle nicht daran), dass Hülle = Menge ALLER Lin.kombin., so ist die Auss. zwingend falsch. Denn vgl. 1): n+k Vekt. sind IMMER lin. abh. Wenn also ALLE Lin.komb. gemeint sind, so sind auch die eben grad genannten in der Menge=Hülle; diese sind aber lin. abh., somit kann die Hülle bzw. deren Elemente nicht ALLE lin. unabh. sein (qed).

Soweit die Aussagen. Der rech. Teil folgt sogleich...

michaL aktiv_icon

16:58 Uhr, 21.01.2011

Hallo,

die Terminologie der linearen Unabhängigkeit (oder ihres Gegenteils) ist NICHT auf die Vektoren bezogen sondern tatsächlich auf eine Menge (von Vektoren).
Leider wird sie manchmal (unzulässig) verkürzt.
Also Sprechweise: Eine (nicht leere) Menge von Vektoren ist linear unabhängig, nicht die Vektoren einer Menge sind linear unabhängig. Oder gar noch ... voneinander.

Mfg Michael

aleph-math aktiv_icon

18:32 Uhr, 21.01.2011

Hier also Teil2: Skalarprodukt.

Wie "Sina" ganz richtig sagt, ist der Winkel zwi. 2 Vekt. über das Skalarprod. def.:

\cos φ = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{∣ \vec{a} ∣ \cdot ∣ \vec{b} ∣}

;
eigt. müsste man ja ||a|| (Betrag=Norm) schreiben, der Einfach. halber wollen wir die (skal.) ABS-Fkt. notieren u. die (vekt.) (L2-)Norm meinen). Hier also:

\cos φ = \frac{(\vec{a + b}) \circ (\vec{2 b - a})}{∣ \vec{a + b} ∣ \cdot ∣ \vec{2 b - a} ∣}

;

Zähler:

(\vec{a + b}) \circ (\vec{2 b - a}) = 2 \vec{a} \circ \vec{b} + 2 \vec{b} ² - \vec{a} ² - \vec{a} \circ \vec{b}

(es gilt das Distrib.gesetz!);

= \vec{a} \circ \vec{b} + 2 ∣ \vec{b} ∣ ² - ∣ \vec{a} ∣ ² = ∣ \vec{a} ∣ ∣ \vec{b} ∣ \cos φ + 2 - 1 = \cos 6 0 + 1 = 1.5

; sowie

Nenner:

∣ \vec{a + b} ∣ ² = \sum_{i}^{n} (a_{i} + b_{i}) ² = \sum_{i}^{n} (a ²_{i} + 2 a_{i} b_{i} + b ²_{i}) = \sum_{i}^{n} a ²_{i} + 2 \sum_{i}^{n} a_{i} b_{i} + \sum_{i}^{n} b ²_{i} = ∣ \vec{a} ∣ ² + 2 \vec{a} \circ \vec{b} + ∣ \vec{b} ∣ ² =

= 2 + 2 \cos 6 0 = 3 \Rightarrow ∣ \vec{a + b} ∣ = \sqrt{3}

;

∣ \vec{2 b - a} ∣ ² = \sum_{i}^{n} (2 b_{i} - a_{i}) ² = \sum_{i}^{n} (4 b ²_{i} - 4 a_{i} b_{i} + a ²_{i}) = 4 \sum_{i}^{n} b ²_{i} - 4 \sum_{i}^{n} a_{i} b_{i} + \sum_{i}^{n} a ²_{i} = 4 ∣ \vec{b} ∣ ² - 4 \vec{a} \circ \vec{b} + ∣ \vec{a} ∣ ² =

= 5 - 4 \cos 6 0 = 3 \Rightarrow ∣ \vec{2 b - a} ∣ = \sqrt{3}

.

Jetzt bauen wir das zusammen:

\cos φ = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{∣ \vec{a} ∣ \cdot ∣ \vec{b} ∣} = \frac{1.5}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = 1.5 / 3 = 0.5 \Rightarrow

(Surprise, surprise!)

φ = 60

° ; diese Lin.kombin. schliesst also überrasch. auch ein Winkel von 60° ein!
---
Edit1: Auch der Beitrag wurde nicht vollst. angezeigt; liegt's am Browser o. an der Kapazität? Hoff. klappt's jetzt..
Edit2: Vollständig ist es jetzt, dafür fehlerhaft, sorry! :( Statt a & b muss bei der Zusammenf. nat. die jew. Lin.komb. stehen, also:

\cos φ = \frac{(\vec{a + b}) \circ (\vec{2 b - a})}{∣ \vec{a + b} ∣ \cdot ∣ \vec{2 b - a} ∣} = . . . = 0.5

;

Orthogon. Vekt.:
Das ist so ähnl.; auch hier kommt das Skalrprod. zum Tragen..

Q: Wann sind Vekt. orthogon.? - A: Wenn ihr Skalarprod. 0 ist; also:

(\vec{a + b}) \circ (\vec{2 b + t . a}) = 0 = 2 \vec{a} \circ \vec{b} + 2 \vec{b} ² + t \vec{a} ² + t \vec{a} \circ \vec{b} = . . . = 2 + t + (2 + t) \vec{a} \circ \vec{b} = (2 + t) (1 + \cos φ) = 1.5 (2 + t)

;
folgl. stehen die Vekt. bei t = -2 auf einander senkr. Voilà, das wär's!

Noch eine rein tech. Frage: im orig. Posting habe ich "schönere", vor allem gröss. Vektorpfeile u. auch Betrags-Striche gesehen. Wie ist der Latex-Code dafür o. liegt's nur am Browser?

Weiter viel Spass! ;-)

aleph-math aktiv_icon

18:51 Uhr, 21.01.2011

Hallo "Michal",

viell. hat sich in mehr als 30 J. die Terminol. geändert, aber ich hab in der Schule u. -wenn ich recht erinn. - auch später in Algebra-Vorles. die lin. Abhäng. nur im Zusammenh. mit VEKTOREN gelernt. Das leuchtet - mir zumind. - schon desw. ein, weil zur Entscheid., ob abhängig o. nicht auf der Menge Operationen & eine Metrik defin. sein müssen, und das ist bei "norm." Mengen nicht der Fall. Mit "Menge" ist ja nicht immer der ganze Vektorraum gemeint, da wär's was anderes.
Nat. können lin. (un)abh. Vekt. auch eine Menge bilden (wenn man sie reinlässt; hihi), aber prinzip. ist es m.W. eine Eigenschaft von Vekt., nicht Mengen. M.W. haben Mengen in toto so gut wie keine Eigenschaften, ausser viell. Abgeschlossenheit. Auch Gruppen, Ringe etc. sind das erst, wenn Operatoren darauf def. sind. Eine Untermenge eines Vekt.raums muss aber nicht zwangslf. selbst ein Vekt.raum sein.

Oder lieg ich da falsch? Ich muss zugeben, mein Hauptfach war Physik, es ist schon möglich - sogar sicher - dass mir einige mathem. Feinheiten entgangen sind, vorallem, wenn man die 30+ seither bedenkt.

Schöne, kolleg. Grüsse -GA.

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