Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Aussagen mit vertauschten Quantoren

Aussagen mit vertauschten Quantoren

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, logik, quantor

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Jannik-F

Jannik-F aktiv_icon

11:17 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Hallo liebes Forum,

wir reden in der Vorlesung aktuell über Prädikatenlogik und haben folgende Aufgabe bekommen :

a) Gegeben seien die folgenden wahren Aussagen:

i) Zu jeder ganzen Zahl x mit |x|2 gibt es eine Primzahl y, so dass gilt: y teilt x.
ii) Zu jeder ganzen Zahl x gibt es eine ganze Zahl y, so dass gilt: x+y=x.

Prüfen Sie, ob die Aussagen auch dann noch richtig bleiben, wenn man jeweils den
Allquantor mit dem Existenzquantor vertauscht.

Mein Ansatz für Aufgabe a)i):
Die Aussage kann man erfassen als p(x,y): "|x| 2,y ist prim und y teilt x"
Alles formal aufschreiben (x)(y)[p(x,y)]
Ich bin mir nicht 100% sicher, ob das vertauschen der Quantoren jetzt in
(y)(x)[p(x,y)] (position tauschen) oder (x)(y)[p(x,y)] (Art des Quantors tauschen) resultieren soll, ich gehe aber von letzterem aus.
Wörtlich würde dies dann ja bedeuten dass es min eine Zahl x mit Betrag 2 zu jeder Primzahl gibt s.dyx teilt.
Meine Frage ist nun, wie ich Prüfen soll, ob die Aussage richtig bleibt. Kann man das anhand einer Wahrheitstabelle machen oder reicht Begründen ?

MfG Jannik

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

11:28 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Hallo,
bei diesem Aufgabentyp ist in der Regel der Positionstausch der
Quantoren gemeint, also deine erste Interpretation.
Um zu prüfen, ob die Aussage nach der Vertauschung immer noch wahr ist,
stellst du eine entsprechende Vermutung an.
Lautet diese auf "falsch", gib ein Gegenbeispiel,
lautet sie "wahr", liefere einen Beweis, z.B. wenn
die Existenz von einer Zahl behauptet wird, gib diese an.
Gruß ermanus
Jannik-F

Jannik-F aktiv_icon

12:37 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Danke dir schon Mal für deine Antwort :-)

Meine erste Interpretation war ja (y)(x)[p(x,y)] also in Worten :
Es existiert (min.) Ein y prim zu beliebigen x mit |x|2s.d gilt y teilt x.

Die Def. Von Teilbarkeit ist ja yn=x für n aus , also soll man ja beweisen/widerlegen dass ein beliebiges x als ein Vielfaches einer Primzahl y zu schreiben ist, wenn ich das jetzt richtig durchdacht habe oder ?

Für x bis 10 bin ich das einfach mal durchgegangen und dafür stimmt es aber wie kann ich jetzt beweisen, dass es für alle x gilt ?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:41 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Das ist falsch "übersetzt". Es muss doch heißen:
Es gibt eine Primzahl y, die Teiler jedes x mit x2 ist.

Noch eine Ergänzung zu meinem vorigen Beitrag:
wenn man "falsch" beweisen will, kann man ja auch
einen Widerspruchsbeweis führen.

Jannik-F

Jannik-F aktiv_icon

12:48 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Ups mein Fehler '
So übersetzt kann man dann sofort sagen, dass die Aussage falsch sein muss, da man bei x=2 die Primzahl y=2 wählen muss und bei x=3 die Zahl 2 schon nicht mehr passt da 2 nicht 3 teilt und somit hätte man ein Gegenbeispiel geliefert, da laut Aussage diese eine Primzahl ja alle x teilen müsste, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe ?
Jannik-F

Jannik-F aktiv_icon

12:48 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Ups mein Fehler '
So übersetzt kann man dann sofort sagen, dass die Aussage falsch sein muss, da man bei x=2 die Primzahl y=2 wählen muss und bei x=3 die Zahl 2 schon nicht mehr passt da 2 nicht 3 teilt und somit hätte man ein Gegenbeispiel geliefert, da laut Aussage diese eine Primzahl ja alle x teilen müsste, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe ?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:55 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Ja, so ist es prima :-)
Jannik-F

Jannik-F aktiv_icon

13:03 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Analog wäre ii)

p(x,y):"x,y aus und x+y=x"
(x)(y)[p(x,y)]
Vertauschen
(y)(x)[p(x,y)] "Es gibt (min) eine ganze Zahl y zu beliebiger ganzen Zahl x,s.dx+y=x gilt"

Das ist ja logischerweise richtig, da man zu jeder ganzen Zahl x die 0, die ja auch aus ist, addieren kann und somit die Zahl x wieder bekommt, aber das ist ja so noch lange kein Beweis. Ich muss aber auch dazu sagen, dass uns bisher kein Weg etwas zu beweisen gezeigt wurde, klar, wir hatten schon den ein oder anderen Beweis in der Vorlesung, aber ein Muster oder vorgehen, wie man etwas beweist haben wir noch nicht bekommen bzw. Konnte ich aus den Beweisen der Vl nicht entnehmen, wie könnte man das dann bspw. Machen ?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:10 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Klar gilt das als Beweis, wenn du ein gesuchtes y
explizit angibst, also hier y=0;
denn die Eigeschaft x+0=x für alle ganzen x
darf man sicher als bekannt voraussetzen,
da 0 per Definition das neutrale Element der Addition ist.
Man muss i.a. nur erkennbar machen, dass das angegebene
Element auch wirklich die geforderten Bedingungen erfüllt,
was aber in diesem Falle evident ist.

Du kannst die Aussage klarer machen, wenn du sie so formulierst
(das "y zu beliebigem x" ist etwas unglücklich, weil es suggeriert,
dass das y irgendwie von dem x abhängt):
"Es gibt eine ganze Zahl y, so dass für jedes ganze x gilt: x+y=x."


Frage beantwortet
Jannik-F

Jannik-F aktiv_icon

13:25 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Super, vielen Dank für deine Hilfe ! :-D)
Jannik-F

Jannik-F aktiv_icon

21:32 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Noch eine Rückfrage, da weiter unten noch folgende Aufgabe kam :

Negieren Sie die folgende Aussage:
Zu jeder reellen Zahl ε >0 existiert eine reelle Zahl δ >0, so dass
für alle reelle Zahlen x mit |x-x0|< δ gilt: |f(x)-f(x0)|< ε.

Wie gehe ich da vor ?

MfG
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.