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Aussagen mit vertauschten Quantoren
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Angewandte Lineare Algebra, logik, quantor
 
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Hallo liebes Forum, wir reden in der Vorlesung aktuell über Prädikatenlogik und haben folgende Aufgabe bekommen : Gegeben seien die folgenden wahren Aussagen: Zu jeder ganzen Zahl mit gibt es eine Primzahl so dass gilt: teilt . ii) Zu jeder ganzen Zahl gibt es eine ganze Zahl so dass gilt: . Prüfen Sie, ob die Aussagen auch dann noch richtig bleiben, wenn man jeweils den Allquantor mit dem Existenzquantor vertauscht. Mein Ansatz für Aufgabe Die Aussage kann man erfassen als "|x| ist prim und teilt x" Alles formal aufschreiben Ich bin mir nicht sicher, ob das vertauschen der Quantoren jetzt in (position tauschen) oder (Art des Quantors tauschen) resultieren soll, ich gehe aber von letzterem aus. Wörtlich würde dies dann ja bedeuten dass es eine Zahl mit Betrag zu jeder Primzahl gibt teilt. Meine Frage ist nun, wie ich Prüfen soll, ob die Aussage richtig bleibt. Kann man das anhand einer Wahrheitstabelle machen oder reicht Begründen ? MfG Jannik Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, bei diesem Aufgabentyp ist in der Regel der Positionstausch der Quantoren gemeint, also deine erste Interpretation. Um zu prüfen, ob die Aussage nach der Vertauschung immer noch wahr ist, stellst du eine entsprechende Vermutung an. Lautet diese auf "falsch", gib ein Gegenbeispiel, lautet sie "wahr", liefere einen Beweis, z.B. wenn die Existenz von einer Zahl behauptet wird, gib diese an. Gruß ermanus |
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Danke dir schon Mal für deine Antwort :-) Meine erste Interpretation war ja also in Worten : Es existiert Ein prim zu beliebigen mit gilt teilt . Die Def. Von Teilbarkeit ist ja für aus also soll man ja beweisen/widerlegen dass ein beliebiges als ein Vielfaches einer Primzahl zu schreiben ist, wenn ich das jetzt richtig durchdacht habe oder ? Für bis bin ich das einfach mal durchgegangen und dafür stimmt es aber wie kann ich jetzt beweisen, dass es für alle gilt ? |
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Das ist falsch "übersetzt". Es muss doch heißen: Es gibt eine Primzahl , die Teiler jedes mit ist. Noch eine Ergänzung zu meinem vorigen Beitrag: wenn man "falsch" beweisen will, kann man ja auch einen Widerspruchsbeweis führen. |
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Ups mein Fehler So übersetzt kann man dann sofort sagen, dass die Aussage falsch sein muss, da man bei die Primzahl wählen muss und bei die Zahl 2 schon nicht mehr passt da 2 nicht 3 teilt und somit hätte man ein Gegenbeispiel geliefert, da laut Aussage diese eine Primzahl ja alle teilen müsste, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe ? |
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Ups mein Fehler So übersetzt kann man dann sofort sagen, dass die Aussage falsch sein muss, da man bei die Primzahl wählen muss und bei die Zahl 2 schon nicht mehr passt da 2 nicht 3 teilt und somit hätte man ein Gegenbeispiel geliefert, da laut Aussage diese eine Primzahl ja alle teilen müsste, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe ? |
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Ja, so ist es prima :-) |
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Analog wäre ii) p(x,y):"x,y aus und x+y=x" Vertauschen "Es gibt eine ganze Zahl zu beliebiger ganzen Zahl gilt" Das ist ja logischerweise richtig, da man zu jeder ganzen Zahl die die ja auch aus ist, addieren kann und somit die Zahl wieder bekommt, aber das ist ja so noch lange kein Beweis. Ich muss aber auch dazu sagen, dass uns bisher kein Weg etwas zu beweisen gezeigt wurde, klar, wir hatten schon den ein oder anderen Beweis in der Vorlesung, aber ein Muster oder vorgehen, wie man etwas beweist haben wir noch nicht bekommen bzw. Konnte ich aus den Beweisen der Vl nicht entnehmen, wie könnte man das dann bspw. Machen ? |
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Klar gilt das als Beweis, wenn du ein gesuchtes explizit angibst, also hier ; denn die Eigeschaft für alle ganzen darf man sicher als bekannt voraussetzen, da per Definition das neutrale Element der Addition ist. Man muss i.a. nur erkennbar machen, dass das angegebene Element auch wirklich die geforderten Bedingungen erfüllt, was aber in diesem Falle evident ist. Du kannst die Aussage klarer machen, wenn du sie so formulierst (das " zu beliebigem " ist etwas unglücklich, weil es suggeriert, dass das irgendwie von dem abhängt): "Es gibt eine ganze Zahl , so dass für jedes ganze gilt: ." |
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Super, vielen Dank für deine Hilfe ! :-D) |
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Noch eine Rückfrage, da weiter unten noch folgende Aufgabe kam : Negieren Sie die folgende Aussage: Zu jeder reellen Zahl ε existiert eine reelle Zahl δ so dass für alle reelle Zahlen mit δ gilt: ε. Wie gehe ich da vor ? MfG |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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