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Aussagen über Funktionen auf Wahrheitswert prüfen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: elastizitätsfunktion, Funktion, Homogenität

LisaAnn aktiv_icon

12:58 Uhr, 21.01.2022

Hallo liebe Community :-)
Ich soll angeben ob folgende Aussagen Wahr oder Falsch ist:

Für alle homogenen Funktionen

f (x)

mit xeR gilt:

f (0) = 0

>Wenn ich homogene Funktionen richtig verstanden habe dann dürften diese nur aus multiplativen variablen zusammengesetzt werden.

d . h

. das

x = 0

dazu führen würde das die Aussage wahr ist. Oder habe ich da was falsch verstanden?

Eine lineare Funktion f(x)=a+bx mit

b > 0

ist in jedem Punkt xeR elastisch

>

Hier verstehe ich folgende Aussage nicht: "Eine Funktion, die stark reagiert, nennt man elastisch; eine Funktion, die wenig reagiert, nennt man unelastisch." Was bedeutet stark reagiert, bzw. ab wann reagiert eine Funktion stark oder wenig ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

14:16 Uhr, 21.01.2022

ad homogen: Ja ist richtig. Die Definition für die Homogenität einer Funktion ist ja, dass

f (t \cdot x) = t^{λ} \cdot f (x)

. Das muss natürlich auch für

t = 0

gelten und damit wären wir dann bei

f (0) = 0

a)

elastische Funktion
Die Aussage, die du zitierst, wäre als Definition zweiflessohne zu vage.
Die Elastizität berechnet sich ja mit

ε = \frac{x}{f (x)} \cdot \frac{d f (x)}{d x}

und man bezeichnet eine Funktion als elastisch, wenn

| ε | > 1

ist, also wenn sich

f (x)

stärker als

x

ändert (relativ).
Bei

| ε | = 1

spricht man von "proportional elastisch"
Bei

| ε | < 1

ist

f

unelastisch

LisaAnn aktiv_icon

14:37 Uhr, 21.01.2022

Okay dann könnte ich doch Induktiv Argumentieren, dass für

a = 1

und

b = 1 (I . A .)

e = 3

folgen muss das für alle

b > 0

folgt dass

f (x)

elastisch ist. Wobei jedoch nicht angegeben ist das

a > 0

damit könnte mir ein negatives a doch den Beweis kaputt machen richtig?

p . s

Obwohl quatsch wir reden ja vom Betrag. Damit müsste die Aussage wieder stimmen.

Roman-22

15:22 Uhr, 21.01.2022

>

dass für

a = 1

und

b = 1 (I . A .) e = 3

und wie kommst du da drauf? Für

f (x) = x + 1

ist doch

ε

nur an der Stelle

x = - 2,25

gleich

3,

oder?

LisaAnn aktiv_icon

15:44 Uhr, 21.01.2022

Oh Gott hatte grad einen riesen Aussetzer tut mir leid.

Also nochmal:

f(x)=a+bx

Für

b = 1

und bspw:

a = 50

also

f (x) = 50 + x \to e = \frac{x}{50 + x} \cdot 1

Also wäre dieses Beispiel bereits ein Gegenbeweis für die Aussage oder?

Roman-22

16:16 Uhr, 21.01.2022

>

Also wäre dieses Beispiel bereits ein Gegenbeweis für die Aussage oder?
Naja, an der Stelle

x = - 49

wäre ja auch deine Funktion hoch elastisch mit

| ε | = 49

Den Widerspruch kannst du also nur mit einem konkreten

x

erzielen und das reicht ja auch schon, da ja die Behauptung ist, es wäre für alle

x \in ℝ

elastisch.

zB

f (x) = x + 1 \to ε = \frac{x}{x + 1}

| ε | > 1

gilt da nur für Werte

x < - \frac{1}{2}

An keiner Stelle

x > - \frac{1}{2}

ist die Funktion daher elastisch

LisaAnn aktiv_icon

16:25 Uhr, 21.01.2022

Okay Perfekt habs jetzt verstanden vielen lieben Dank :-)

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