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Aussagen; wahr oder falsch
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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Hi! Ich habe hier ein paar Aufgaben, die eigentlich total babal erscheinen. Ich weiß trotzdem nicht wie ich sie lösen soll. Kann mir btte jemand helfen? Aufgabe: Entscheiden sie ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: 1) 5 "nicht element" Q 2) N "teilmenge von" Z "teilmenge von" Q "teilmenge von" R 3) Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist irrational. 4) Für alle n "element" Z gilt es existiert ein x "element" R für das gilt nx=1 5) Für alle x,y "element" R gilt x>y => x"größer gleich"y Wär super wenn mir da jemand hilft! |
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hallöchen, du hast zwar die aufgaben aufgeschrieben, aber die aufgabenstellung ist nicht durchschaubar. sollst du nur sagen ob diese aussagen wahr oder falsch sind. sollst du das auch beweisen, oder sollst du hier eine mathematische formulierung dazu finden? wenn man das nicht weiß, ist es schwierig die aufgaben zu lösen. |
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Hallo, also ich finde, daß die Aufgabenstellung sehr wohl durchschaubar ist: Entscheide bedeutet, daß man das Ergebnis aufschreibt und den Entscheidungsweg mit angibt, damit diese Entscheidung nachvollzogen werden kann. Also zu den Aufgaben: 1) 5 "nicht element" Q Es gilt, daß 5/1=5 ist. Da 5/1 ein Quotient aus zwei ganzen Zahlen ist, ist 5/1 eine rationale Zahl und damit 5/1 ele Q. Da die Elemente von Q aber Äquivalenzklassen sind (10/2=5/1=5), die jeweils nur ein Element aus Q mit unterschiedlichem Wert darstellen, gilt ebenfalls 5 ele Q. 2) N "teilmenge von" Z "teilmenge von" Q "teilmenge von" R Hier muß man über die Definitionen gehen: Eine reelle Zahl x heißt dann rational, wenn man sie als Quotient (oder Bruch) p / q zweier ganzer Zahlen mit q ungleich Null darstellen kann. Andernfalls heißt x irrational. Damit ist eine rationale Zahl immer auch eine reelle Zahl und es gibt relle Zahlen, die keine rationale Zahlen sind. Die Beweise für den zweiten Teil des vorangegangenen Satzes sind normalerweise bekannt (z.B. sqrt(2) ist irrational). Damit sind die gebrochenen Zahlen eine echte Teilmenge der reellen Zahlen. Eine reelle Zahl x heißt dann rational, wenn man sie als Quotient (oder Bruch) p / q zweier ganzer Zahlen mit q ungleich Null darstellen kann. Eine ganze Zahl z läßt sich ebenfalls darstellen als z/1 und erfüllt damit die Forderungen für eine rationale Zahl. Damit sind die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen und da alle rationalen Zahlen der Form 1/n mit n größer als 1 keine ganzen Zahlen sind (sie sind kleiner als 1 und größer als Null und dazwischen gibt es keine ganze Zahl mehr). sind die ganzen Zahlen eine echte Teilmenge der gebrochenen Zahlen. Die natürlichen Zahlen sind nichtnegative (manchmal aber auch postitive) ganze Zahlen. In jedem Fall ist somit jede natürliche Zahl eine ganze Zahl und die negativen ganzen Zahlen sind keine natürlichen Zahlen. Damit bilden die natürlichen Zahlen eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen. Wegen der Transitivität der Teilmengenbeziehung gilt die Behauptung: N "teilmenge von" Z "teilmenge von" Q "teilmenge von" R und die Aussage ist wahr. 3) Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist irrational. Zunächst: Sei x eine irrationale Zahl, dann ist -x ebenfalls irrational. Beweis (indirekt): Wäre -x keine irrationale Zahl, dann wäre es rational (siehe 2)) und es gäbe ganze Zahlen p und q mit q ungleich Null so daß: -x=p/q gilt. Dann gilt aber auch: (-1)*(-x)=(-1)*p/q x = (-1)/1*p/q = ((-1)*p)/(1*q) =(-p)/q Wenn p eine ganze Zahl ist, dann ist -p ebenfalls eine ganze Zahl und q ist wie vorausgesetzt eine ganze Zahl, die ungleich Null ist, also erfüllt x die Voraussetzungen für eine rationale Zahl und wäre damit nicht mehr irrational. Das ist ein Widerspruch und damit ist die annahme falsch, daß -x rational sein kann. Damit sind x und -x beide irrational und es gilt für die Summe: x + (-x) = 0 Da Null nun definitiv eine rationale Zahl ist (0/n mit n ungleich Null ist gleich Null), ist die Aussage, daß die Summe zweier irrationaler Zahlen wieder irrational ist falsch. 4) Für alle n "element" Z gilt es existiert ein x "element" R für das gilt nx=1 Formal sieht das wie eine wahre Aussage aus, aber die Tücke steckt im Detail: Es gilt, daß Null ele Z ist. Es gibt aber kein x ele R, so daß 0*x=1 ist. Damit ist die Aussage falsch! 5) Für alle x,y "element" R gilt x>y => x"größer gleich"y Hier muß man die Logik bemühen: "Größer gleich" bedeutet doch nichts anderes, als "größer" oder "gleich", Also bedeutet doch x "größer gleich" y gdw. (x "größer" y) oder (x "gleich" y) Jetzt folgt aber aus jeder wahren Aussage H, daß gilt: H => H oder A wobei A eine beliebige Aussage ist, denn sobald H erfüllt ist, ist auch H oder A erfüllt. Ist H nicht erfüllt, gilt die Implikation immer, egal welchen Wert die Aussagen auf der rechten Seite haben. Die Aussage ist also wahr. |
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Vielen Dank für die Hilfe! War wcht super! |
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