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Vektorräume

Tags: Matrix, Vektorraum

nadia28 aktiv_icon

12:24 Uhr, 01.07.2020

Ich bräuchte bitte Hilfe Folgende Aussagen zu beweisen.
Die Aufgabe ist besonders wichtig da ich die Punkte fürs Hausaufgaben Kriterium brauche.
Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

DrBoogie aktiv_icon

12:58 Uhr, 01.07.2020

1.
Es gilt

∥ A x ∥_{2}^{2} = 〈 A x, A x 〉 = 〈 x, A^{H} A x 〉

und

∥ A^{H} x ∥_{2}^{2} = 〈 A^{H} x, A^{H} x 〉 = 〈 x, A A^{H} x 〉

.
Wenn

A

normal ist, gilt

A A^{H} = A^{H} A

und deshalb dann

∥ A x ∥_{2} = ∥ A^{H} x ∥_{2}

.
Umgekehrt folgt aus

∥ A x ∥_{2} = ∥ A^{H} x ∥_{2}

, dass

〈 x, A A^{H} x 〉 = 〈 x, A^{H} A x 〉

für alle

x

.
Da eine komplexe Sesquilinearform durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt ist (s. hier:
de.wikipedia.org/wiki/Polarisationsformel, folgt

〈 y, A A^{H} x 〉 = 〈 y, A^{H} A x 〉

für alle

x, y

und damit

A A^{H} = A^{H} A

DrBoogie aktiv_icon

13:03 Uhr, 01.07.2020

2. ist eine triviale Anwendung der Definition

3. a) bis c) sind sehr einfach
d) auch einfach, nur etwas mehr Rechnerei. Man muss nur ausmultiplizieren:

H (A) S (A) = 0.25 (A^{2} + A^{H} A - A^{H} A - (A^{H})^{2})

S (A) H (A) = 0.25 (A^{2} - A^{H} A + A^{H} A - (A^{H})^{2})

.
Dann sieht man, dass

H (A) S (A) = S (A) H (A)

genau dann wenn

A^{H} A = A^{H} A

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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