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Aussagen zu symmetrietypen
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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1. Jede symmetrische Gruppe besitzt mindestens zwei Untergruppen. 2. Zu jeder natürlichen Zahl ist die symmetrische Gruppe Sym(1;2;...;n}) eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sym({1;2;...;n;n+1}). 3.Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Fünfecks besitzt mehr Untergruppen als die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Viereck 4.Zu jeder natürlichen Zahl besitzt die Symmetriegruppe eines regelmäßigen (n+4)-Ecks mehr Untergruppen als die Symmetriegruppe eines regelmäßigen (n+3)-Ecks. 5. Die Symmetriegruppe eines platonischen Körpers besitzt höchstens Elemente. Was ist richtig was ist falsch Mein Ansatz 1. Jede symmetrische Gruppe besitzt mindestens zwei Untergruppen. - Richtig Die symmetrische Gruppe ist die Gruppe aller Permutationen einer gegebenen Menge von Elementen. Da jede Gruppe eine triviale Untergruppe (die Identität) und sich selbst als Untergruppe enthält, besitzt auch jede symmetrische Gruppe mindestens diese beiden Untergruppen. 2. Zu jeder natürlichen Zahl ist die symmetrische Gruppe Sym(1;2;...;n}) eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sym({1;2;...;n;n+1}). - Falsch Die symmetrische Gruppe Sym(1;2;...;n}) ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sym({1;2;...;n;n+1}) nur dann, wenn nicht Teil der Permutationen in Sym(1;2;...;n}) ist. Andernfalls wäre Sym({1;2;...;n}) keine Untergruppe der größeren Gruppe. 3. Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Fünfecks besitzt mehr Untergruppen als die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Vierecks. - Richtig Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Fünfecks, auch bekannt als Dihedrale Gruppe hat insgesamt Untergruppen, während die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Vierecks, auch bekannt als Dihedrale Gruppe nur 8 Untergruppen besitzt. Die zusätzlichen Untergruppen in entstehen aufgrund der zusätzlichen Rotationen und Symmetrien, die in einem Fünfeck möglich sind. 4. Zu jeder natürlichen Zahl besitzt die Symmetriegruppe eines regelmäßigen (n+4)-Ecks mehr Untergruppen als die Symmetriegruppe eines regelmäßigen (n+3)-Ecks. - Falsch Die Anzahl der Untergruppen hängt nicht nur von der Anzahl der Ecken eines regelmäßigen Polygons ab, sondern auch von der Anzahl der Drehungen und Spiegelungen, die in der Symmetriegruppe erlaubt sind. Es gibt keinen direkten Zusammenhang zwischen der Anzahl der Ecken und der Anzahl der Untergruppen. 5. Die Symmetriegruppe eines platonischen Körpers besitzt höchstens Elemente. - Richtig Ein platonischer Körper ist ein regelmäßiges Polyeder, das aus gleichseitigen und gleichwinkligen Flächen besteht. Die Symmetriegruppe eines platonischen Körpers wird durch die symmetrischen Operationen bestimmt, die das Polyeder unverändert lassen. Es wurde gezeigt, dass die maximale Anzahl von Elementen in der Symmetriegruppe eines platonischen Körpers beträgt. Dies tritt zum Beispiel bei einem Ikosaeder auf, während bei einem Tetraeder nur Elemente in der Symmetriegruppe vorhanden sind. Stimmt das so bin mir so unsicher Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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