Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Aussagen zum Riemann-Integral beweisen

Aussagen zum Riemann-Integral beweisen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Analysis, Integration, Linearität, Riemann

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
SkylineEagle

SkylineEagle aktiv_icon

11:05 Uhr, 18.10.2018

Antworten
Guten Tag Zusammen,

es geht um folgende Aufgabe:

Aufgabe1
Zeigen Sie die Aussagen

a)Für\(f,gR([a,b]),λ\IR ist λf+gR([a,b]) mit

abλf(x)+g(x)dx=λabf(x)dx+abg(x)dx

b)Für\(f,gR([a,b]) mit fg auf \([a,b]gilt:

abf(x)dxabg(x)dx


Ansatz1.a)

Angenommen, dass λf+gR([a,b]) gilt, dann gibt es für die Obersumme dieser Riemann-integrierbaren Funktion folgende Darstellung:

inf{abλφ(x)+ψ(x)dx:λφ+ψT,TT[a,b]}

Wählt man nun dieselbe Unterteilung a=x0<x1<...<xn=b für φ und ψ, dann folgt, dass φ+ψ wieder eine Treppenfunktion geben muss, da hier nur 2 konstante Werte ci für ein beliebiges Teilintervall xi-xi-1 addiert werden. Selbiges gilt für λ. Damit müsste die Behauptung dann folgen.

Ansatz1.b)

Hierzu würde ich einmal das Oberintegral und einmal das Unterintegral betrachten. Für f das Unterintegral, für g das Oberintegral. Dadurch folgt direkt, dass die Treppenfunktion von f kleiner als die von g sein muss. Aus der Riemann-Integrierbarkeit sollte dann die Behauptung folgen.

Ich bitte drigend um Feedback. Denke die Grundidee könnte stimmen, aber die Ausformulierung ist noch holprig.

VG,
Skyline

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

18:45 Uhr, 18.10.2018

Antworten
hallo
was du zu a) geschrieben hast zeigt doch nur, dass λf+g integrierbar ist, ich sehe nicht, wo du auf die Summe der Integrale kommst, du musst doch zeigen dass das inf der Summe = der Summe der inf ist. (bezw.. der )
die 2) gehst du wohl richtig an.
Gruß ledum
SkylineEagle

SkylineEagle aktiv_icon

22:22 Uhr, 18.10.2018

Antworten


Hallo ledum,

vielen Dank erstmal für deine Antwort!
Gut, bzw. man kann auch den Weg über Summe der sup gehen oder?

Mal anbei mein Versuch zur a)

η(x)=φ(x)+ψ(x)
bi=ci+di
i=1nλbi(xi-xi-1)
i=1nλsupη(xi)(xi-xi-1)
i=1nλci(xi-xi-1)+di(xi-xi-1)
i=1nλsupφ(xi)(xi-xi-1)+supψ(xi)(xi-xi-1)
i=1nλsupφ(xi)(xi-xi-1) + i=1nsupψ(xi)(xi-xi-1)
λabf(x)dx+abg(x)dx

Stimmt das soweit? Oder wie würdest du das am Besten angehen?

VG,
Physics




SkylineEagle

SkylineEagle aktiv_icon

10:51 Uhr, 21.10.2018

Antworten
Hallo Zusammen,

es wird noch sehr dringend Hilfe benötigt. Wäre nett wenn sich Jemand meinen letzten Versuch nochmal anschauen könnte und mir Vorschläge machen könnte wie es richtig gehen würde. Hab bis morgen Abgabe.

VG und danke,
Skyline :-)
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.