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Aussagen zur Analysis, Beweisen oder Widerlegen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Stetigkeit

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15:52 Uhr, 12.08.2012

Hallo,

diesen Thread möchte ich gern für eine Aufgabe mit verschiedenen Behauptungen nutzen, welche es zu beweisen oder zu widerlegen gilt. Zu einigen habe ich eine Idee, und würde gern wissen ob diese korrekt ist. Zu anderen fehlt mir leider ein Ansatz und ich würde mich über Tips freuen.

(a) Sind

f, g : ℝ \to ℝ

differenzierbar, so ist auch

g \circ ∣ f ∣ : ℝ \to ℝ

differenzierbar.

Diese Aussage ist wahr für

g \circ f : ℝ \to ℝ

und folgt aus der Kettenregel für differenzierbare Funktionen.

Mich stört jedoch der Betrag. Da die Betragsfunktion nicht differenzierbar ist, denke ich, dass dann auch die Verkettung der Betragsfunktion mit einer differenzierbaren Funktion nicht differenzierbar ist.

Ist diese Annahme korrekt und wie kann ich dies konkret fassen?

Idee: Sei

f : x \mapsto - x

und

g : x \mapsto x

differenzierbar in

ℝ

So ist

g (∣ f (x) ∣) = (g \circ ∣ f ∣) (x)

die Betragsfunktion und damit nicht differenzierbar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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16:01 Uhr, 12.08.2012

Dein Gegenbeispiel sieht ok aus.

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16:15 Uhr, 12.08.2012

Okay, danke. Bei der nächsten weiß ich jedoch nicht wo ich ansetzen soll. Klingt eigentlich ganz plausibel, aber wie argumentiere ich?

(b) Ist

I \subseteq ℝ

ein Intervall,

f : I \to ℝ

stetig, monoton wachsend und bijektiv, so ist

f

differenzierbar.

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16:23 Uhr, 12.08.2012

Glaubst du die Aussage ist richtig, oder nicht?

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16:24 Uhr, 12.08.2012

Ich bin mir nicht sicher, würde aber eher nach einem Beweis für die Richtigkeit suchen, da mir kein Gegenbeispiel einfällt.

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16:30 Uhr, 12.08.2012

Siehe Bild. Immer noch der Meinung, dass die Aussage richtig ist?

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16:50 Uhr, 12.08.2012

Stimmt, einen Knick kann ich ja überall einbauen, ähnlich der Betragsfunktion.

Wie führe dann den Beweis formal über die Unterschiedlichkeit von rechts- und Linksseitigem Grenzwert?

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16:53 Uhr, 12.08.2012

Erstmal musst du einen passenden Funktionsterm für ein Gegenbeispiel finden. Wenn du möchtest, kannst du dann noch zeigen, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Knickstelle nicht existiert.

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17:01 Uhr, 12.08.2012

Einen Knick modelliere ich mit einer abschnittsweisen Definition, die den Funktionswert am Ende des einen Intervall in das andere Intervall mitnimmt?

Also der Form

f (x) = 10 x

für

x < 1

f (x) = x + 10

für

x \geq 1

Aber geht das nicht auch in beiden Fällen gegen 10?

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17:05 Uhr, 12.08.2012

Deine angegebene Funktion ist nicht stetig und auch nicht bijektiv.

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17:21 Uhr, 12.08.2012

Wie baue ich denn so eine Funktion? Ich bin mir auch gerade nicht sicher, warum meine Funktion nicht bijektiv und nicht stetig ist.

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17:27 Uhr, 12.08.2012

Deine angegebene Funktion ist bei

x = 1

nicht stetig. Es gilt

lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 10 \cdot 1 = 10

aber

lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 1 + 10 = 11

also

lim_{x \to 1^{-}} f (x) \neq lim_{x \to 1^{+}} f (x)

und damit existiert

lim_{x \to 1} f (x)

nicht.

Und die angegebene Funktion ist nicht bijektiv, weil sie nicht surjektiv ist. Es liegt nämlich kein Wert aus dem Intervall

[10,11)

in der Bildmenge.

Die beiden linearen Funktionen müssen an der Knickstelle den selben Funktionswert haben, dann löst sich dein Problem.

barracuda317 aktiv_icon

17:29 Uhr, 12.08.2012

Oh, so wollt ich das auch eigentlich bauen ... Sry.

mit

f (x) = 10 x

für

x < 1

f (x) = x + 9

für

x \geq 1

passt es dann oder?

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17:33 Uhr, 12.08.2012

Ja jetzt passt das Gegenbeispiel. Wobei du

I = ℝ

wählen musst, um Bijektivität zu erreichen.

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18:28 Uhr, 12.08.2012

Stimmt. Das Intervall darf ich aber ja für das Gegenbeispiel beliebig wählen.

Passt das dann für die Ungleichheit beim Differenzenquotienten?

l i m_{x \to 1^{-}} \frac{10 x - 10}{x - 1} = \frac{10 (x - 1)}{x - 1} = 10

l i m_{x \to 1^{+}} \frac{x + 9 - 10}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} = 1

Also jeweils die Funktionsdefinition für den Abschnitt einsetzen und Grenzwert bestimmen.

Da

l i m_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} \neq l i m_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}

ist f in

x_{0} = 1

nicht differenzierbar.

(e)

Existieren

l i m_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x)

und

l i m_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x)

, so existiert auch

l i m_{x \to x_{0}} f (x)

Die Aussage ist falsch:

Sei

f : ℝ \to ℝ

definiert als

f : x \mapsto x

für

x \leq 1

und

f : x \mapsto x + 5

für

x > 1

.

Damit existieren

l i m_{x \to 1^{-}} f (x)

und

l i m_{x \to 1^{+}} f (x)

mit

l i m_{x \to 1^{-}} f (x) = l i m_{x \to 1^{-}} x = 1

l i m_{x \to 1^{+}} f (x) = l i m_{x \to 1^{-}} (x + 5) = 6

Aber da:

l i m_{x \to 1^{-}} f (x) = 1 \neq 6 = l i m_{x \to 1^{+}} f (x)

existiert

l i m_{x \to 1} f (x)

nicht.

Damit ist

f

x_{0} = 1

nicht stetig.

Ich denke diese Aufgabe sollte so korrekt sein. Daher poste ich schonmal die nächste.

(d)

Sei

f \in C^{\infty} (ℝ)

. Die Potenzreihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} x^{n}

ist die Taylorreihe von

f

0

.

Hier verstehe ich nicht, was ich beweisen soll. Da

ℝ

ein offenes Intervall ist und

f \in C^{\infty} (ℝ)

ist dies nach Definition der Taylorreihe aus unserem Skript für die Taylorreihe von f um

x_{0} = 0

gegeben. Reicht als Beweis ein Verweis auf die Definition oder habe ich hier eine Bedingung vergessen?

Shipwater aktiv_icon

18:37 Uhr, 12.08.2012

Nein du darfst das Intervall nicht beliebig wählen. Nur mit

I = ℝ

hast du Bijektivität.

barracuda317 aktiv_icon

18:39 Uhr, 12.08.2012

Ja, ich meinte vielmehr: Ich darf mir ein konkretes Intervall für mein Gegenbeispiel wählen, damit die Bedingungen erfüllt sind, jedoch nicht die Folgerung daraus.

Shipwater aktiv_icon

18:45 Uhr, 12.08.2012

Achso ok dann hatte ich deine Aussage falsch verstanden.
Deine Ideen zu

(e)

sind richtig.
Bei

(d)

muss es korrekterweise

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} x^{n}

heißen.
Entweder hast du dich verschrieben, oder die Aussage ist falsch.

barracuda317 aktiv_icon

18:48 Uhr, 12.08.2012

Sorry again, war ein Tipfehler von mir.

x^n

steht dabei. In diesem Sinne reicht ein Verweis auf die Definition als Beweis?

Shipwater aktiv_icon

18:52 Uhr, 12.08.2012

Definitionen muss man nicht beweisen.

barracuda317 aktiv_icon

08:50 Uhr, 13.08.2012

Okay, dann bleibt das so stehen.

(f) Die Funktion

f (x) := s i n (a r c t a n (x)) * a r c t a n (s i n (x))

ist gerade.

Es muss gelten:

f (x) = f (- x)

Da sowohl der Sinus als auch der Arcustangens ungerade sind, gilt für diese Funktionen:
-f(x) = f(-x)

f (x) = s i n (a r c t a n (x)) * a r c t a n (s i n (x)) = - s i n (a r c t a n (x)) * - a r c t a n (s i n (x)) =

s i n (- a r c t a n (x)) * a r c t a n (- s i n (x)) = s i n (a r c t a n (- x)) * a r c t a n (s i n (- x)) = f (- x)

Die Aussage ist also wahr.

Frage dazu: Wie ist das prinzipielle Vorgehen um zu zeigen, dass eine Funktion ungerade ist? Für den Sinus haben wir dies über die Definition als Reihe gemacht und dort einfach umgeformt. Für den Arcustangens habe ich im Skript allerdings keine solche Darstellung gefunden.

(g)

(1 + 2 i)^{100}

ist reell
Dabei wollte ich mich an einem Beispiel aus dem Skript orientieren. Bei dem

(1 + i)^{2011}

berechnet werden sollte. Hier scheitert es aber an

a r c t a n (2)

. Dieses Ergebnis kenne ich nicht.

Sei

z = x + y i

mit

x = 1

und

y = 2

Element der Menge

ℂ

{0}

Dann ist

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}

und

φ = a r c t a n (2)

Also ist:

(1 + 2 i)^{100} = {\sqrt{5}}^{100} e^{i * 100 * a r c t a n (2)} = 5^{50} e^{i * 100 * a r c t a n (2)}

Jemand einen Tip?

Shipwater aktiv_icon

10:43 Uhr, 13.08.2012

(f) :

Wenn du folgende Regeln (zitiert aus Wiki) kennst, dann geht es schnell:
- Die Komposition einer ungeraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist ungerade.
- Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
Dein Weg ist aber natürlich auch möglich. Und das prinzipielle Vorgehen geht über die Definition.

barracuda317 aktiv_icon

11:20 Uhr, 13.08.2012

Die Regeln haben wir leider im Skript nicht angegeben und ich müsste sie somit auch erst beweisen.

Die Eigenschaft des Arcustangens beweist man dann wie die des Sinus und des Kosinus über die zugehörige Taylorreihe? Dann einsetzen und umformen?

Hast du auch eine Idee zu (g)?

Shipwater aktiv_icon

11:58 Uhr, 13.08.2012

sin (x)

ist ungerade und

cos (x)

ist gerade, also ist

tan (x) = \frac{sin (x)}{cos (x)}

ungerade und damit ist auch die Umkehrfunktion

a r c t a n (x)

ungerade.
Für die andere Aufgabe müsst ich mich erstmal wieder einlesen, da habe ich aber gerade keine Lust zu. Vielleicht später.

barracuda317 aktiv_icon

12:07 Uhr, 13.08.2012

Also neuer Satz sinngemäß: f ist ungerade, dann ist auch

f^{- 1}

ungerade.
Finde ich allgemeine etwas schade, dass wir diese Sätze im Skript nicht mal formuliert haben. Sind ja doch recht nützlich.

Wäre supi, wenn du Zeit und Lust findest für die Aufgabe. Hat auch noch etwas Zeit bis zur Klausur (knapp 3 Wochen).

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12:16 Uhr, 13.08.2012

1 + 2 i

kannst du auch schreiben als

\sqrt{5} \cdot e^{i \cdot a r c t a n (2)}

. Daraus folgt:

{(1 + 2 i)}^{100} = 5^{50} \cdot e^{100 i \cdot a r c t a n (2)} = 5^{50} \cdot cos (100 a r c t a n (2)) + i \cdot 5^{50} \cdot sin (100 a r c t a n (2))

sin (100 a r c t a n (2)) \approx - 0,69

ist die Zahl nicht reell.
Aber keine Ahnung, ob das so gedacht war.

barracuda317 aktiv_icon

20:46 Uhr, 14.08.2012

danke dir, fürs ansehen. Zumindest habe ich dann schonmal eine mögliche Idee.

(h)

Ist

f : ℝ \to ℝ

bijektiv und differenzierbar, so ist

f^{- 1} : ℝ \to ℝ

ebenfalls differenzierbar.

Die Aussage ist falsch. Als Gegenbeispiel diene hierzu:

I = [0, \infty)

und

f (x) = x^{2}

. Dann ist

f ʹ (x) = 2 x

, was bedeutet, dass

f ʹ (0) = 0

ist. Hierbei ist die Umkehrfunktion

f^{- 1} (x) = \sqrt{x}

x_{0} = 0

nicht differenzierbar, denn es gilt:

l i m_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{0}}{x - 0} = l i m_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x} = l i m_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}} = \infty

Die Bedingung

f ʹ (0) = 0

wäre hier also erforderlich gewesen.

Warum ist aber:

l i m_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x} = l i m_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}} = \infty

?

Den Schritt kann ich gerade nicht ganz nachvollziehen.

hagman aktiv_icon

21:18 Uhr, 14.08.2012

Die Aussage lautet: Sei

f : ℝ \to ℝ

bijektiv und differenzierbar

. .

.
Dann sollte dein Gegenbeispiel auch eine Funktion

f : ℝ \to ℝ

beinhalten und nicht nur eine auf einem Teilintervall.
Aber die Idee,

f

so zu wählen, dass

f' (0) = 0

ist, ist schon einmal vielversprechend (denn es müsste ja laut Kettenregel

(f^{- 1})' (f (0)) \cdot f (0) = 1

gelten).
Kannst du eine bijektive, diffbare Funktion

f : ℝ \to ℝ

angeben mit

f' (0) = 0

Shipwater aktiv_icon

21:21 Uhr, 14.08.2012

Nun es gilt doch

x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}

also

\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}

Das Gegenbeispiel finde ich allerdings nicht passend, da doch von

f : ℝ \to ℝ

die Rede ist. Besser wäre meines Erachtens

f : ℝ \to ℝ, x \mapsto x^{3}

barracuda317 aktiv_icon

21:24 Uhr, 14.08.2012

Danke euch beiden. Die Nicht-Bijektivität von

x^{2}

auf

ℝ

wegen

x^{2} > 0

für alle

x

, hatte ich nicht bedacht.

Für heute ist aber erstmal Pause, morgen gehts weiter :-)

Shipwater aktiv_icon

21:30 Uhr, 14.08.2012

hagman hat sich in der Klammer übrigens verschrieben. Vielleicht findest du ja selbst heraus wie es korrekt lauten muss. :-)

barracuda317 aktiv_icon

21:44 Uhr, 14.08.2012

Müsste ja dann lauten:

(f^{- 1}) ʹ (f (0)) * f ʹ (0) = 1

Wegen Umkehrregel:

(f^{- 1}) ʹ (f (0)) = \frac{1}{f ʹ (f^{- 1} (f (0))} = \frac{1}{f ʹ (0)}

Das meintest du?

Shipwater aktiv_icon

21:48 Uhr, 14.08.2012

Ja genau.

hagman aktiv_icon

21:49 Uhr, 14.08.2012

Ich habe jetzt nicht gesehen, wo ich mich verschrieben habe.
Wenn

g : ℝ \to ℝ

(linke) Umkehrfunktion von

f : ℝ \to ℝ

ist, gilt per Definition

g (f (x)) = x

für alle

x \in ℝ

.
Wenn

f

und

g

differenzierbar sind, liefert beiderseitiges Differenzieren (links wegen Kettenregel)

g' (f (x)) \cdot f' (x) = 1

Shipwater aktiv_icon

21:50 Uhr, 14.08.2012

Du hast ausversehen

(f^{- 1})' (f (0)) \cdot f (0) = 1

geschrieben anstatt

(f^{- 1})' (f (0)) \cdot f' (0) = 1

hagman aktiv_icon

21:54 Uhr, 14.08.2012

D'oh! Bei den Unmengen an Klammern und Striche hab ich den jetzt echt minutenlang übersehen (vor allem, da ich mir sowieso ganz sicher war, den getippt zu haben). Das sind echt die Sachen, die man selbst nicht mehr sieht, danke.

barracuda317 aktiv_icon

09:36 Uhr, 15.08.2012

(i)

f : ℝ {0

mit

f (x) = \frac{1}{x}

ist stetig.

Sei

x_{0} \in ℝ

\{0} und

(a_{n})

eine Folge in

ℝ

\{0} mit

l i m_{n \to \infty} a_{n} = x_{0}

. Dann gilt:

l i m_{n \to \infty} f (a_{n}) = l i m_{n \to \infty} \frac{1}{(a_{n})} = \frac{l i m_{n \to \infty} 1}{l i m_{n \to \infty} (a_{n})} = \frac{1}{x_{0}}

Damit ist die Stetigkeit in

x_{0}

gezeigt, und da

x_{0}

beliebig wahr, folgt daraus die Stetigkeit von

f

.

Ist das so ausreichend oder muss ich mit diesem ekligen

ε

δ

-Kriterium hantieren? (werde ich wohl vor der Klausur aber nochmal machen müssen :()

(j)

Ist

f : ℝ \to ℝ

eine Funktion mit

f (x) \geq 0

für alle

x \in ℝ

, so gilt

\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0

für jede Wahl von

a, b \in ℝ

mit

a < b

Diese Aussage ist wahr (habe keine Fallstrick gesehen, an dem die offensichtliche Annahme scheitert). Etwas stutzig macht mich die Tatsache, dass nicht gefordert ist, dass die Funktion integrierbar sein muss (wird das als selbstverständlich vorausgesetzt?).

Seien nun

f

wie oben definiert und

g : ℝ \to ℝ

mit

g (x) = 0

für alle

x \in ℝ

.

Aus der Monotonie folgt dann, wegen:

g (x) \leq f (x)

für alle

x \in ℝ

\int_{a}^{b} g (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) f x \Rightarrow \int_{a}^{b} 0 d x \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \Rightarrow 0 \leq \int_{a}^{b} f (x) d x

Shipwater aktiv_icon

10:56 Uhr, 15.08.2012

(i)

ist meiner Meinung nach in Ordnung. Du benutzt das Folgenkriterium und die Grenzwertsätze für Folgen um die Stetigkeit von

x \mapsto \frac{1}{x}

zu zeigen.

(j)

Wenn man die Integrierbarkeit von

f

voraussetzt, dann finde ich deine Idee gut.
Du hast in deinem Beweis dann allerdings zwei mal = anstatt

\Rightarrow

geschrieben.
Also auf

[a, b]

gilt laut Voraussetzung

0 \leq f (x)

also auch

\int_{a}^{b} 0 d x \leq \int_{a}^{b} f (x) d x

und damit sofort

0 \leq \int_{a}^{b} f (x) d x

barracuda317 aktiv_icon

13:08 Uhr, 15.08.2012

Für die (j) hätte also in der Aufgabenstellung die Integrierbarkeit vorausgesetzt werden müssen?

Die Folgerungspfeile habe ich ergänzt :-)

(k) Es gibt eine Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ

mit

δ_{1} f (x, y) = x y

und

δ_{2} f (x, y) = y^{2}

Diese Aussage ist falsch, denn nach Satz von Schwarz muss für diese Funktion gelten:

δ_{1} δ_{2} f (x, y) = δ_{2} δ_{1} f (x, y)

Jedoch gilt:

δ_{1} δ_{2} f (x, y) = 0 \neq x = δ_{2} δ_{1} f (x, y)

Kann man das machen?

Meine 1. Idee war, die Stammfunktionen der Partiellen Ableitungen zu bilden. Wie notiert man sowas?

----------
Nochmal eine Rückfrage zur (g)

Warum ist sin(100arctan(2)) nicht reell? Ich habe in der Lerngruppe etwas diskutiert, und dabei ist die These aufgekommen, dass wenn kein i mehr enthalten ist, die Zahl reell ist bei diesem Aufgabentyp.

hagman aktiv_icon

17:41 Uhr, 15.08.2012

Bei

(j)

musst du selbst entscheiden, ob du lieber "Unter der zusätzlichen Voraussetzung, dassf integrierbar ist, gilt die Aussage, weil ..." oder "Die Aussage ist falsch, da für nicht integrierbares

f

der Ausdruck noch nicht einmal definiert ist. Ein solches

f

ist beispielsweise ..." schreibst.

-

Man muss bei

k)

natürlich peinlich genau die Voraussetzungen von Schwarz prüfen. Die zweifache Diffbarkeit von

f

steckt nicht in den Voraussetngen, sondern ergibt sich daraus, dass die gegebenen ersten partiellen Ableitungen offensichtlich total diffbar sind.

-

Bei

g)

hat doch keiner behauptet

sin (100

arctan(2)) wäre nicht reell!?
Vielmehr ist mit Taschenrechnergenauigkeit

sin (100

arctan(2))

\approx - 0,69

(also durchaus reell), aber weil

- 069 \neq 0

ist, ist

5^{50} \cdot cos (100

arctan(2))

+ i \cdot 5^{50} \cdot sin (100

arctan(2)) nicht reell.
Die Verwendung von Taschenrechner

o

.ä. ist hier natürlich kritisch, denn selbst wenn der für

sin (100

arctan(2)) eine wie 0 aussehende Zahl ausgespuckt hätte, müsste der Imaginärteil (zumal nach Multiplikation mit

5^{50})

keineswegs

= 0

sein.
(Beispielsweise ist

e^{π \cdot \sqrt{163}} - 640320^{3} - 744

praktisch "ununterscheidbar" von

0,

und trotzdem

\neq 0)

Das dumme an

g)

ist, dass ein "ordentlicher" nachweis von

{(1 + 2 i)}^{100} \notin ℝ

ziemlich tiefes Wissen aus dem Bereich Zahlentheorei erfordert: Im Ring

ℤ [i]

gibt es so etwas wie Primzahlen, und zwar

p_{1} = 1 + i, p_{2} = 3, p_{3} = 2 + i, p_{4} = 2 - i, p_{5} = 7, p_{6} = 11, p_{7} = 3 + 2 i, p_{8} = 3 - 2 i, . .

. und ähnlich wie in

ℤ

gibt es eindeutige Primfaktorzerlegung (wobei man noch "Vorzeichen"

1, - 1, i, - i

berücksichtigen muss)
Nun ist

1 + 2 i = i \cdot p 3,

also

{(1 + 2 i)}^{100} = i^{100} \cdot p_{3}^{100} = p_{3}^{100}

. Die komplex konjuguierte Zahl hierzu ist

\bar{{(1 + 2 i)}^{100}} = p_{4}^{100}

. Wegen der unterschiedlichen Primfaktorzerlegung gilt

{(1 + 2 i)}^{100} \neq \bar{{(1 + 2 i)}^{100}},

also

{(1 + 2 i)}^{100} \notin ℝ

barracuda317 aktiv_icon

10:35 Uhr, 17.08.2012

(k) Hier würde dann zum Nachweis der n-mal stetig Differenzierbarkeit ausreichen jeweils auf die Verkettung stetiger, differenzierbarer Funktionen zu verweisen?

(g) Da habe ich wohl nicht genau gelesen und damit greift wieder meine anfangs überlegte These:

"Fällt das i weg, ist die Zahl reell"

Ich war schon etwas verwirrt, warum das plötzlich nicht so funktionieren soll.

Deine Überlegungen zu einem "ordentlichen" Beweis sind für diese Aussage vermutlich (oder hoffentlich *g*) nicht erforderlich.

(l) Ist

f : ℝ \to ℝ

stetig, so ist die Funktion

g : ℝ \to ℝ

mit

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

differenzierbar.

Ich bin der Meinung, dass diese Aussage wahr ist.

Dabei habe ich mir überlegt:

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t = F (x) - F (0)

Da die Ableitung von

F (x)

jedoch

f (x)

ist, und

(x)

definiert ist, muss ja

F (x)

differenzierbar sein. Habe ich etwas übersehen?

hagman aktiv_icon

18:14 Uhr, 22.08.2012

f

als stetig vorausgesetzt wurde, ist

g' = f

(das ist der Hauptsatz der D/I-Rechnung)

1022058

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