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Aussagenlogik
Schüler , 10. Klassenstufe
Tags: Aussagenlogik
 
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Ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen: Also ich habe die wahre Aussage:"Zu einer ganzen Zahl mit gibt es eine Primzahl, die teilt." Ich habe erst mal folgende beiden Prädikate aufgestellt Als Aussageform habe ich das hier Ist das bis jetzt richtig? Mit der Aussageform will ich sagen: "Für jedes gibts mind. ein für das und gilt. Falls alles soweit stimmt, dann würde ich gerne wissen, wie ich selber beweisen kann, dass die Aussage stimmt. Bis jetzt haben wir eig. immer mit Wahrheitstabellen gearbeitet aber ich weiss nicht genau, wie ich hier eine aufstellen soll. EDIT: Die Aufgabenstellung ist eig. zu prüfen, ob die Aussage auch noch richtig bleibt, wenn ich All- und Existenzquantor vertausche. Meine Idee war halt das ganze mit einer Wahrheitstabelle zu lösen. Weiss aber nicht, wie ich diese aufstelle. |
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Hallo TheOne123! Gut, dass du die Aufgabenstellung doch noch gepostet hast. :-) Wahrheitstafeln kann man in aussagenlogischen Zusammenhängen betrachten. Hier geht es jedoch um Prädikatenlogik (quasi eine Erweiterung der Aussagenlogik unter anderem um Quantoren). Möchtest du beweisen, dass jede ganze Zahl x mit (mindestens) eine Primzahl als Teiler besitzt? Laut Aufgabenstellung ist das offenbar gar nicht verlangt. p(x) soll sicherlich durch definiert sein, nicht durch . Deine angegebene Formel zur Formalisierung der Aussage aus der Aufgabenstellung passt zwar zu "Für jedes x gibts mind. ein y für das p(x) und q(x,y) gilt.", aber nicht zu der Aussage aus der Aufgabenstellung. Die Aussage "Für jedes x gibts mind. ein y für das p(x) und q(x,y) gilt." ist auch im Gegensatz zur Aussage aus der Aufgabenstellung falsch, wie das Beispiel zeigt: Für diese ganze Zahl gibt es keine Primzahl mit (also mit ) und . Eine korrekte Formalisierung (wenn wir y aus der Menge der Primzahlen voraussetzen) wäre z.B.: . In dieser Darstellung ist es aber nicht sinnvoll möglich, die Quantoren zu vertauschen. Der/die Aufgabensteller dachte wohl eher an folgende Darstellung: (Dabei sei die Menge der ganzen Zahlen mit und die Menge der Primzahlen.) . Durch Vertauschung der Quantoren erhalten wir die neue Aussage . Kannst du diese Aussage in Worten formulieren und angeben, ob sie wahr ist? Viele Grüße Tobias |
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Danke für deine Antwort. Stimmt ich meinte natürlich . Ich verstehe nicht ganz, warum meine Aussageform falsch ist. Warum kann man in meine Aussage eine 1 einsetzen? Etwa, weil ich nirgendwo sage, was man für einsetzten darf? Wo genau kennzeichne ich denn, dass man nur die zahlen einsetzten darf, deren Betrag sind? Einfach irgendwo dazuschreiben? Ich hatte natürlich noch nicht die Quantoren vertauscht. Hab meine Aussageform jetzt ein wenig umgeschrieben. Könnte ich das vllt so schreiben? Prädikat: Aufgabenstellung mit NICHT vertauschten Quantoren: Für Vertauschte Quantoren: Selbst wenn die Schreibwesise jetzt richtig wäre, hätte ich ja immer noch nix bewiesen. Ich habe mir auch deine Lösung angeguckt aber ich weiss leider nicht ob mein Prof. diese Schreibweise akzeptiert, weil es in den Vorlesungsfolien anders steht. Hier vllt ein kleines Beispiel aus den Folien: Die Aussage ”Einige Papageien k¨onnen sprechen“ kann mit Hilfe der Aussageformen ist Papagei, kann sprechen folgendermaßen umformuliert werden: Es gibt ein so dass gilt: ist ein Papagei und kann sprechen, also: |
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Gut, dass du kritisch nachfragst! :-) Sind die Folien deines Professors öffentlich zugänglich? Kannst du einen Link posten? Ich schreibe gleich weiter, aber möchte diese Rückfrage schon mal abschicken... |
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Die Folien sind leider nicht öffentlich aber ich habe sie als Pdf-Datei. Ich könnte versuchen sie hier zu posten, weiss aber ehrlich gesagt nicht, ob das rechtlich erlaubt ist. |
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Die Aussage " Es gibt ein x, so dass gilt: x ist ein Papagei und x kann sprechen " kann durch ausgedrückt werden, aber nicht durch , was heißen würde, dass alle Papageien sprechen können. Fortsetzung folgt... |
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Aus urheberrechtlichen Gründen darfst du leider wohl nicht einfach fremde Folien veröffentlichen. Ich habe dir eine Persönliche Nachricht geschickt. |
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Ach man tut mir Leid habe da die falsche Aussageform aus den Folien abgeschrieben. So wie du es schreibst, steht es natürlich auch in den Folien. Sry, war ein langer Tag heute... |
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Ach man tut mir Leid habe da die falsche Aussageform aus den Folien abgeschrieben. So wie du es schreibst, steht es natürlich auch in den Folien. Sry, war ein langer Tag heute... |
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Kein Problem. Mir liegen nun die Folien vor. Ich entnehme ihnen einen naiven Umgang mit der Prädikatenlogik. Mengen sind zu diesem Zeitpunkt noch nicht eingeführt. Ich rätsele leider auch darüber, welche Sichtweisen der/die Dozent(in) genau möchte. Ich interpretiere den gewählten Zugang so, dass bei euch (im Gegensatz zur alltäglichen Mathematik) Prädikate und Quantoren sich stets auf "alle Objekte unseres Denkens" beziehen. Dann liegt aber auf Folie 22 ein Fehler vor: Dort heißt es, für das Prädikat p definiert durch x,y sind reelle Zahlen und x<y sei die Aussage (∀y)(∃x)p(x , y) wahr. Wenn ich aber für y nicht nur Zahlen, sondern auch den Papageien "Hugo" aus dem nächstgelegenen Zoo einsetzen darf, trifft auf diesen nicht zu, weil Hugo keine reelle Zahl ist. Damit wäre die Aussage (∀y)(∃x)p(x , y) falsch. Ich sehe nun zwei Möglichkeiten an die Aufgabe heranzugehen: 1. Wir gehen streng davon aus, dass alle Quantoren sich immer auf alle Objekte beziehen müssen. 2. Wir beschreiben in Worten, welche Quantoren sich auf welche Gesamtheiten von Objekten (z.B. nur ganze Zahlen x mit ) beziehen sollen. Welchen Weg sollen wir beschreiten? |
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2. ist der deutlich angenehmere Zugang: Wir vereinbaren, dass x nur für ganze Zahlen mit stehe und y nur für Primzahlen stehe. Wir betrachten wie von dir vorgeschlagen das Prädikat p definiert durch p(x,y): y ist ein Teiler von x. Dann würde ich die Aussage aus der Aufgabenstellung durch notieren. Mit vertauschten Quantoren erhalten wir so die Aussage , die in Worten aussagt: "Es gibt eine Primzahl y, so dass für alle ganzen Zahlen mit gilt: y ist ein Teiler von x". Einfacher formuliert bedeutet diese Aussage: "Es gibt eine Primzahl, die alle ganzen Zahlen mit teilt." Ist diese Aussage wahr oder falsch? |
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Wenn der zweite Weg einfacher ist, dann können wir sehr gerne diesen nehmen. Verstehe ich das richtig, dass die Aussageform, die wir jetzt haben mit vertauschte Quantoren so aussehen würde: Ich dachte die ganze Zeit es würde so aussehen, wenn man sie vertauscht: Zu deiner Frage Die Aussage wäre falsch, da sich eine Primzahl ja nur durch 1 und sich selbst teilen lässt. Die neue Aussage sagt jedoch, dass sich eine Primzahl durch jede andere Zahl teilen lässt, deren Betrag ist. EDIT: Moment mal, die Begründung stimmt so nicht ganz... Ok ich glaub ich habs jetzt. Hatte gerade iwie eine ganz falsche Aussage im Kopf. Die neue Aussage ist ja: "Es gibt eine Primzahl, die alle ganzen Zahlen mit ∣x∣≥2 teilt." Das stimmt nicht. Meine Begründung(?): Die kleinste Primzahl ist 2. Wenn dann geht es auf(2/2=1). Wenn dann gehts nicht auf(3/2). Alle anderen Primzahlen sind größer als 2 und können somit nicht teilen . |
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Die von dir vorgeschlagene Version der Vertauschung der Quantoren erscheint mir auch plausibel. Für "meine" Version spricht, dass eine Vertauschung "meiner" Art schon auf den Folien 21 und 22 thematisiert wurde. Letztlich weiß ich aber nicht, was der/die Aufgabensteller(in) gemeint hat. Ich fände es angemessen, beide Versionen bei der Korrektur durchgehen zu lassen. Bei "meiner" Version hast du völlig richtig festgestellt und begründet, dass durch die Vertauschung eine falsche Aussage entsteht. :-) |
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Super, ich danke dir! Jetzt ist mir das um einiges klarer. :-) Ich habe noch eine Aufgabe dazu gelöst, würde es dir was ausmachen, kurz mal drüber zu gucken? Die Aussage: "Zu jeder ganzen Zahl gibt es eine ganze Zahl sodass gilt" Bedingung ist Prädikat: Aussageform: Aussageform mit vertauschte Quantoren: Neue Aussage: "Es gibt eine ganze Zahl sodass für jede ganze Zahl gilt: " Die Aussage würde die gleiche bleiben, wenn ich mich nicht irre. Also stimmt sie weil sein kann. |
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Die Formel zur Darstellung der Aussage stimmt. :-) (Bei strenger Auslegung könnte man anmerken, dass die Formel eine Aussage, keine Aussageform darstelle. Das hängt davon ab, ob man Aussagen auch als ("0-stellige") Aussageformen auffasst.) Bei der Formeldarstellung hast du "deine" Version der Quantorenvertauschung genutzt ( ), bei der Darstellung in Worten jedoch "meine" Version ("Es gibt eine ganze Zahl y..."). Damit passen Formel und Wiedergabe in Worten nicht zueinander. Um besser über die Aussagen reden zu können, nummeriere ich sie jetzt: (1) die ursprüngliche Aussage (2) "deine Version der Quantorenvertauschung": (3) "meine Version der Quantorenvertauschung": Aussage (2) ist falsch, denn sonst gäbe es eine reelle Zahl x, die für alle reellen Zahlen y die Gleichung erfüllen würde und damit insbesondere () die Gleichung . Aussage (3) ist wie von dir zutreffend festgestellt und begründet wahr. Ebenso ist (1) wahr. Aussage (3) trifft inhaltlich eine stärkere Aussage als Aussage (1): Während Aussage (1) nur für jede ganze Zahl die Existenz einer von abhängigen passenden Zahl mit behauptet, behauptet die Aussage (3) die Existenz einer "universellen" ganzen Zahl y, die für alle ganzen Zahlen x gleichzeitig erfüllt. (Tatsächlich wird man aber in beiden Fällen mit argumentieren, wie du es korrekt getan hast.) |
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Ich habs mal wieder falsch eingetippt. Im Heft habe ich deine Version der Quantorenvertauschung genutzt. Ich denke mal ich bleibe auch bei deiner Version, weil sie ja auch in den Folien so steht. Ich hätte noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe aber ich denke, ich mache dazu einen neuen Thread auf, damit es hier nicht zu unübersichtlich wird. Hast mir wirklich sehr gut geholfen, viel Dank nochmal. |
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