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Aussagenlogik und Mengentheorie.

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Tags: Allquantor, Äquivalenz, Aussagenlogik Informatik, Element, Existenzquantor, Menegenlehre, Mengentheorie, Negation, Teilmengen

 
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DeeWone

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17:15 Uhr, 22.10.2017

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Sei Ω eine Menge und a(x) eine beliebige Aussage über x ∈ Ω. Beweisen sie Folgendes.

Hallo Leute. Ich komme bei dem folgenden Matheproblem leider nicht voran.
Die Aufgabenstellung steht oben. Meine Frage ist nun, wie genau ich die Äquivalenz der beiden Terme zueinander Beweise.
Über eine Antwort oder hilfreiche Tipps wäre ich dankbar.
¬(∀ x ∈ Ω :a(x)) ⇔ ∃x ∈ Ω : ¬a(x)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

00:14 Uhr, 24.10.2017

Antworten
Hallo DeeWone!


Nachzuweisen ist eine Äquivalenz zweier Aussagen.
Typisches Vorgehen dazu: Wir zeigen nacheinander beide Richtungen.


Die leichtere Richtung ist "<=":

Gelte also ∃x∈Ω:¬a(x), d.h. es existiert ein x0∈Ω mit ¬a(x0).
Zu zeigen ist ¬(∀x∈Ω:a(x)).

Angenommen doch ∀x∈Ω:a(x).

Was wissen wir dann insbesondere über x0?
Kannst du den gewünschten Widerspruch herleiten?


Nun zur Richtung "=>":

Gelte also ¬(∀x∈Ω:a(x)). (*)
Zu zeigen ist ∃x∈Ω:¬a(x).

Angenommen ¬∃x∈Ω:¬a(x). (**)

Ich behaupte nun, dass ∀x∈Ω:a(x) folgt (womit wir dann den gewünschten Widerspruch zu (*) hergeleitet hätten):

Sei nämlich xʹ∈Ω beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist a(xʹ).

Angenommen ¬a(xʹ).
Dann folgt insbesondere ∃x∈Ω:¬a(x) im Widerspruch zu (**).


Viele Grüße
Tobias
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