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Aussagenlogik vereinfachen

Universität / Fachhochschule

Tags: Algebra, Aussagenlogik, Boolean, informatik, Junktoren, logik, Operator

cuxes aktiv_icon

18:09 Uhr, 26.10.2014

Einen guten Abend miteinander,

Ich bräuchte mal schnell Hilfe bei einer Aufgabe im Bereich der Aussagenlogik.

Ist der Ausdruck

(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\bar{B} \land A)

eine Tautologie? Begründen Sie bitte ihre Antwort mit Hilfe der logischen Gesetze.

Das heißt, ich muss vereinfachen (keine Wahrheitstabelle) um die Antwort zu bekommen. Da ich eine Wahrheitstabelle schon angelegt habe, weiß ich, das eine Kontradiktion herauskommt (also die Frage kann verneint werden). Die Professorin meinte, dass am Ende 0 oder 1 übrig bleibt. Nun brauche ich eure Hilfe, sonst verzweifel ich noch... Ich bitte um die gesamten Schritte bis zum Ergebnis! :-)

Ich bin soweit gekommen:

(\bar{A} \lor B) \Leftrightarrow (\bar{B} \land A)

Ich danke euch schon einmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

tommy40629 aktiv_icon

18:27 Uhr, 26.10.2014

Du kannst die Äquivalenz weiter auflösen, das gibt 2 Implikationen mit einem und.
Und dann diese Formel weiter auflösen. Aber das steht doch so nicht in der Aufgabenstellung.

Da steht doch, ob der Ausdruck eine Tautologie ist. Und wie man das zeigt, ist dann egal.

Also muss in der Wahrheitstabelle die letzte Spalte aus lauter Einer bestehen.

Ich würde einfach eine Wahrheitstabelle dazu aufstellen und wenn man eine nur eine Null dabei ist, dann ist es keine Tautologie.

Zur Begründung mit den logischen Gesetzen, kann man ja die Tabellen für Implikation, Äquivalenz uws hinmalen und das kurz erklären.

Oder gibt es noch weitere Hinweise zu der Fragestellung, die wir nicht sehen können?

cuxes aktiv_icon

18:32 Uhr, 26.10.2014

Hey,

Ich soll ja gerade nicht eine Wahrheitstafel benutzen, sondern mit den logischen Gesetzen diesen Ausdruck vereinfachen, sodass ich die Frage ohne Tabelle lösen kann.

tommy40629 aktiv_icon

18:36 Uhr, 26.10.2014

Da steht ja jetzt eine Äquivalenz: X<=>Y auflösen:
X=>Y und Y=>X dann das wieder auflösen und dann löscht sich einiges gegenseitig aus.

Durch Absorbtion und Ähnliches.

oculus aktiv_icon

18:45 Uhr, 26.10.2014

Hallo,

wenn du nicht die Aufgabe semantisch - also mit Hilfe der Wahrheitswerte - lösen willst, müsste man zunächst wissen, wie der Ausdruck

A \Rightarrow B

in der Vorlesung definiert wurde. Ich vernute

(A \Rightarrow B) := \bar{A} \lor B,

oder aber

(A \Rightarrow B) := \bar{A \land \bar{B}}

.

Übrigens hatte ich in meiner Antwort zuerst einen dicken Fehler gemacht, den ich gleich korrigieren will.

oculus

cuxes aktiv_icon

18:53 Uhr, 26.10.2014

Ich hab das mal gemacht.

(\bar{A} \lor B) \Rightarrow (A \land \bar{B}) \land (\bar{A} \lor B) \Rightarrow (A \land \bar{B})

(A \land \bar{B}) \lor (\bar{A} \lor B) \land (A \land \bar{B}) \lor (\bar{A} \lor B)

Was kürzt sich denn da jetzt weg, bzw wie geht es weiter?

cuxes aktiv_icon

19:44 Uhr, 26.10.2014

A \Rightarrow B

ist so definiert:

[~

steht für Negation, iwie gibt es da mit dem Befehl "bar()" Anzeigefehler

]

A \Rightarrow B = ~ A \Rightarrow ~ B

oder

A \Rightarrow B = ~ A \lor B

und dann gibt es noch den Fall "Negation komplizierter Aussagen":

A \Rightarrow B

durch

~ A \lor B

ersetzen

~ A \lor B

negieren:

~ (~ A \lor B)

De’Morgansche Gesetz anwenden

~ (~ A \lor B) = A \land ~ B

oculus aktiv_icon

20:29 Uhr, 26.10.2014

Hallo,

wenn

A \Rightarrow B

definiert wird mit

\bar{A} \lor B,

so erhält man aus dem gegebenen Ausdruck

(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\bar{B} \land A)

den äquivalenten Ausdruck

(\bar{A} \lor B) \Leftrightarrow (\bar{B} \land A)

Nun ist aber auch

(\bar{A} \lor B)

äq

\bar{(\bar{B} \land A)}

und mit dieser Einsetzung wird der gegebene Ausdruck zu

\bar{(\bar{B} \land A)} \Leftrightarrow (\bar{B} \land A)

.

Setzt man nun

C := (\bar{B} \land A)

wird aus dem geg. Ausdruck

\bar{C} \Leftrightarrow C

.

Das ist eine Kontradiktion. Man kann natürlich noch weiter rechnen und erhält

(\bar{C} \Leftrightarrow C)

äq

(\bar{C} \Rightarrow C) \land (C \Rightarrow \bar{C})

äq

(\bar{\bar{C}} \lor C) \land (\bar{C} \lor \bar{C})

äq

(C \lor C) \land (\bar{C} \lor \bar{C})

äq

(C \land \bar{C})

äq 0.

Ob so eine aufwendige Rechnerei gemeint ist, wage ich zu bezweifeln.

oculus

cuxes aktiv_icon

20:40 Uhr, 26.10.2014

Ich danke dir vielmals! Ich hatte das halt noch nicht mit dem Gleichsetzen in eine neue Aussage (hier

C)

(Y)

1193887

1193798

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