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Austausch von Differential-Operatoren

Universität / Fachhochschule

Tags: Differentialoperator

Sukomaki aktiv_icon

16:22 Uhr, 26.10.2020

Hallo,

ich möchte Euch hier und heute vertraut machen mit dem "Austausch von Differential-Operatoren".

Es geht dabei um einen Kommutator auf Differential-Operatoren.

Um von einem Kommutator sprechen zu können, führe ich zuerst den Begriff der
"krummen Ableitung" ein. Diese stimmt für natürliche Zahlen mit der bekannten
Ableitung überein, ist aber für reelle (oder sogar komplexe) Ableitungen definiert.

Für

f (x) = a \cdot x^{r}

ist

f ʹ (x) = a \cdot r \cdot x^{r - 1}

f ʺ (x) = a \cdot r \cdot (r - 1) \cdot x^{r - 2}

f ‴ (x) = a \cdot r \cdot (r - 1) \cdot (r - 2) \cdot x^{r - 3}

u.s.w.

\Rightarrow f^{(k)} (x) = a \cdot \frac{r!}{(r - k)!} \cdot x^{r - k}

Es gilt

f^{(a)} (f^{(b)} (x)) = f^{(b)} (f^{(a)} (x)) = f^{(a + b)} (x)

Insbesondere ist

f^{(\frac{1}{2})} (f^{(\frac{1}{2})} (x)) = f ʹ (x)

Beispiel :

f (x) := x^{r}

\Rightarrow f^{(\frac{1}{2})} (x) = \frac{r!}{(r - \frac{1}{2})!} \cdot x^{r - \frac{1}{2}}

\Rightarrow f^{(\frac{1}{2})} (f^{(\frac{1}{2})} (x)) = \frac{r!}{(r - \frac{1}{2})!} \cdot \frac{(r - \frac{1}{2})!}{(r - 1)!} \cdot x^{r - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = r \cdot x^{r - 1} = f ʹ (x)

Jetzt betrachte ich zwei Differential-Operatoren

D_{1}

und

D_{2}

.

Für diese gilt im Allgemeinen, dass sie nicht kommutieren.

Aber wenn ich diese unendlich oft abwechselnd infinitesimal anwende, kommutiert der
resultierende Operator. Ich nenne diesen Operator den "Austausch" der Differential-
Operatoren. Das Symbol

&

soll "und" gesprochen werden.

Als Beispiel möchte ich hier anführen :

D_{1} = x \cdot \frac{d}{d x}

und

D_{2} = \frac{d}{d x}

.

Die k-fache Ableitung von

D_{1}

ist

D_{1}^{k} (x^{r}) = r^{k} \cdot x^{r}

, die von

D_{2}

ist

D_{2}^{k} = \frac{r!}{(r - k)!} \cdot x^{r - k}

D_{1}

und

D_{2}

kommutieren nicht :

D_{2} (D_{1} (x)) = D_{2} (x) = 1

aber

D_{1} (D_{2} (x)) = D_{1} (1) = 0

Als Wert für den Kommutator erwarte ich eine Zahl zwischen

0

und

1

.

(Welcher Wert es tatsächlich ist, ist weiter unten zu lesen)

Die genaue Definition des Austausches ist :

(D_{1} & D_{2}) (f (x)) = lim_{k \to \infty} \dots D_{2}^{\frac{1}{k}} (D_{1}^{\frac{1}{k}} (D_{2}^{\frac{1}{k}} (D_{1}^{\frac{1}{k}} (D_{2}^{\frac{1}{k}} (D_{1}^{\frac{1}{k}} (f (x)))))))

(k-mal)

\Rightarrow

Der Austausch von

x \cdot \frac{d}{d x}

und

\frac{d}{d x}

hat bezüglich der Identität den einfachen
Wert

\frac{1}{e} \approx 0.3678794411714423

.

G
Maki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

19:56 Uhr, 26.10.2020

en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus

Sukomaki aktiv_icon

09:51 Uhr, 27.10.2020

Danke für den Link.

Das ist recht interessant. Das sollte ich mir mal in Ruhe durchlesen.

Allerdings finde ich dort auf den ersten Blick nicht das Konzept des Austausch-Operators.

Und das ist ja das Bemerkenswerte bei meinem Post, dass da

\frac{1}{e}

rauskommt.

DrBoogie aktiv_icon

09:53 Uhr, 27.10.2020

"Allerdings finde ich dort auf den ersten Blick nicht das Konzept des Austausch-Operators."

Und wozu soll er gut sein?

Sukomaki aktiv_icon

10:28 Uhr, 27.10.2020

Ach ja, immer dieses "Wozu soll er gut sein".

Ich habe gelesen, dass aus Differentialoperatoren eine Lie-Algebra gemacht werden kann. Mein Operator ist halt die kommutative Variante.

Das gleiche Verfahren kann auch auf lineare Funktionen und quadratische Matrizen angewendet werden. Nur nenne ich es da nicht "Austausch", sondern "Durchdringung".

Für quadratische Matrizen ist

A & B = e^{\ln (A) + \ln (B)}

Und bei den linearen Funktionen habe ich einen Zusammenhang zu dem Wert von

ζ (2)

festgestellt.

DrBoogie aktiv_icon

10:32 Uhr, 27.10.2020

Dann publiziere das in einer wissenschaftlichen Zeitschrift.
Als Nebenprodukt wird die ganze Konstruktion auch von den professionellen Mathematikern geprüft.

Sukomaki aktiv_icon

10:45 Uhr, 27.10.2020

Was meinst Du : Könnte Spektrum der Wissenschaft Interesse haben?

Oder sollte es schon etwas Spezielleres sein?

Wie auch immer : die Idee finde ich gut.

DrBoogie aktiv_icon

11:07 Uhr, 27.10.2020

Spektrum ist keine "richtige" Zeitschrift, sie ist für breites Publikum, nicht für die Fachwelt.

Es gibt eng spezialisierte Zeitschriften wie z.B.
Journal of Pseudo-Differential Operators and Applications oder
Journal of Differential Equations

Es gibt breiter gefächerte wie z.B.
Communications in Contemporary Mathematics oder
Mathematische Annalen

Die Zeitschriften unterscheiden sich recht stark vom Niveau und Anforderungen.
In den "renommiertesten" wie Journal of the American Mathematical Society oder Acta Mathematica werden nur bahnbrechende Ergebnisse publiziert. In den Zeitschriften der 3. Reihe kann man fast schon alles Mögliche publizieren, solange es nicht ein kompletter Humbug ist.

Welche Adresse für dich konkret passend sein kann, weiß ich nicht, ist nicht mein Thema. Ich würde einen Professor an der Uni fragen, am besten aus der analytischen Ecke.

Sukomaki aktiv_icon

09:08 Uhr, 28.10.2020

Ich schulde Euch noch eine Erklärung dafür, warum

(D_{1} & D_{2}) (x) = \exp (- 1)

ist.

Es war ja

D_{1} = x \cdot \frac{d}{d x}

und

D_{2} = \frac{d}{d x}

.

Dann ist

D_{2}^{\frac{1}{k}} (D_{1}^{\frac{1}{k}} (\dots D_{2}^{\frac{1}{k}} (D_{1}^{\frac{1}{k}} (x^{m})) \dots))

(k-mal) gleich

m \cdot (\prod_{j = 0}^{k - 1} (m - \frac{j}{k})^{\frac{1}{k}}) \cdot x^{m - 1}

.

Demnach ist

(D_{1} & D_{2}) (x^{m}) = lim_{k \to \infty} m \cdot (\prod_{j = 0}^{k - 1} (m - \frac{j}{k})^{\frac{1}{k}}) \cdot x^{m - 1}

Das ist aber nichts anderes als

\frac{m^{m + 1}}{(m - 1)^{m - 1}} \cdot \exp (- 1) \cdot x^{m - 1}

Insbesondere ist für

m = 1

der Wert von

D_{1} & D_{2}

gleich

\frac{1^{2}}{0^{0}} \cdot \exp (- 1) \cdot x^{1 - 1} = \exp (- 1)

(Die Umformungen sind nicht offensichtlich, aber MAPLE sagt so)

(Wobei ich auf den Quotienten

\frac{m^{m + 1}}{(m - 1)^{m - 1}}

selbst gekommen bin)

Sukomaki aktiv_icon

09:46 Uhr, 29.10.2020

Danke,

Ich habe eine Ausarbeitung an das Journal "Fractional Calculus and Applied Analysis" geschickt.

Mag sein, dass sie sich melden, vielleicht auch nicht. Toll wäre es natürlich, wenn ich eine Veröffentlichung bekäme.

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