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Austauschsatz von Steinitz

Universität / Fachhochschule

Tags: basis, Vektorraum

 
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Vittoria

Vittoria

13:07 Uhr, 27.10.2012

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Der Satz dazu in meinem Skript lautet:

Sei V ein Vektorraum über K, sei n∈ℕ,{v1,...,vn}⊆V die linear unabhängig ist und M⊆V.
Weiters gelte {v1,...,vn}⊆[M]

Dann gibt es eine n-elementige Teilmenge {w1,...,wn} von M {0} sodass
[(M\{w_1,...,w_n}) ∪{v1,...,vn}]=[M]


Ich versteh das leider überhaupt nicht!!! und was bedeutet [M] ??
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
Sina86

Sina86

14:42 Uhr, 27.10.2012

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Hi,

also [M] sollte der Spann bzw. das Erzeugnis von M sein, das sind alle Vektoren von V, die sich als Linearkombination von Vektoren aus M darstellen lassen. Generell ist [M] ein Untervektorraum von V.

Dieser Satz sagt aus, dass sich gewisse Vektoren aus M löschen und durch {v1,...,vn} ersetzen lassen (Achtung: M ist hier kein (Unter-)vektorraum!).

Als Hauptanwendung kann man vlt folgendes Bsp. angeben:
Sei V ein Vektorraum der Dimension m und M:={w1,...,wm} eine Basis (d.h. insbesondere [M]=V). Seien {v1,...,vn} linear unabhängig. Dann existieren nach dem Satz von Steinitz Indizes j1,...,jn∈{1,...,m} mit jk≠jl wenn k≠l, so dass [M∖{wj1,...,wjn}∪{v1,...,vn}]=[M]=V ist.

Legt man nun noch fest, dass (oBdA durch eine geeignete Nummerierung der Vektoren) j1=1,j2=2,...,jn=n ist, dann kann man das noch schöner schreiben, denn dann ist

M∖{wj1,...,wjn}∪{v1,...,vn}=M∖{w1,...,wn}∪{v1,...,vn}
={v1,...,vn,wn+1,...wm}=:N

Insbesondere ist [N]=V und somit N ein Erzeugendensystem von V. Andererseits enthält N genau m Vektoren, diese müssen daher auch linear unabhängig sein (da dimV=m) und somit ist N eine Basis von V.

Der Satz von Steinitz macht also sehr allgemeine Aussagen über die Austauschbarkeit von Vektoren in Erzeugendensystemen, aber seine wichtigste Anwendung ist wohl, dass man aus jeder Basis eine gewisse Anzahl von Basiselementen gegen die gleiche Anzahl von linear unabhängigen Vektoren austauschen kannst und somit eine neue Basis eines Vektorraumes erhälst.

Lieben Gruß
Sina
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