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Auswirkungen auf Ungleichungen

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Tags: Funktion

chickendinner aktiv_icon

14:00 Uhr, 02.08.2010

Hi, habe eine kurze Frage zu Ungleichungen.
Angenommen, ich habe eine Ungleichung der Form

tan (x) \geq a, sin (x) \geq a

oder

cos (x) \geq a,

wobei

a \in ℝ

. Wenn ich nun durch arctan, arcsin, arccos jeweils nach

x

auflöse, dreht sich hierbei die Ungleichung um?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

hagman aktiv_icon

14:05 Uhr, 02.08.2010

Es passiert viel schlimmeres.
Es gilt beispielsweise

sin (x) \geq a

\Leftrightarrow

a r c sin (a) \leq x + 2 k π \leq π - a r c sin (a)

für eine ganze Zahl

k \in ℤ

oder auch

tan (x) \geq a

\Leftrightarrow

a r c tan (a) \leq x + k π < \frac{π}{2}

für ein

k \in ℤ

chickendinner aktiv_icon

14:12 Uhr, 02.08.2010

Also wird, wenn ich die Periodizität mal außen vor lasse, die Ungleichung nicht umgekehrt?

hagman aktiv_icon

14:48 Uhr, 02.08.2010

Man kann allgemein von

a > b

auf

f (a) > f (b)

schließen, wenn

f

streing monoton steigt.
arctan und arcsin sind monoton steigend.
Dagegen ist arccos monoton fallend, kehrt also (mit der geboteen Vorsicht) um.
Also:

tan (x) \geq a \Rightarrow a r c tan (tan (x)) \geq a r c tan (a)

. Falls

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2},

auch einfach

x \geq a r c tan (a)

sin (x) \geq a \Rightarrow a r c sin (sin (x)) \geq a r c sin (a)

. Falls

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2},

auch einfach

x \geq a r c sin (a)

cos (x) \geq a \Rightarrow a r c cos (cos (x)) \leq a r c cos (a)

. Falls

0 \leq x < π,

auch einfach

x \leq a r c cos (a)

chickendinner aktiv_icon

16:10 Uhr, 02.08.2010

Vielen Dank für deine Antwort, hat mir sehr geholfen!

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