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Automorphismen zyklischer Gruppen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

KJ-007 aktiv_icon

18:26 Uhr, 22.04.2012

Hallo,
Ich soll die Automorphismengruppe der

Z_{6}

und

Z_{9}

angeben. Dann sind die Elemente, die teilerfremden zu 6 bzw. 9 sind.

Das heißt ich habe bei der

Z_{6}

zwei Abbildungen und bei der

Z_{9}

6?!

Ist das richtig gedacht oder habe ich einen Denkfehler?

LG von der Ostsse

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

19:41 Uhr, 22.04.2012

Im Prinzip sind diese Anzahlangaben schon einmal richtig:
Wie jeder Hommorphismus auf zyklischen Gruppen ist auch solch ein Automorphismus durch Angeben des Bildes des (Standard-)Erzeugers eindeutig festgelegt. Und wie du sagst, muss

φ (1)

eine zum Modulus teilerfremde Restklasse sein, damit

φ : ℤ_{n} \to ℤ_{n}

ein Automorphismus ist.
In der Automorphismengruppe von

ℤ_{6}

finden sich daher genau die durch

1 \mapsto 1

und

1 \mapsto 5

(oder auch

1 \mapsto - 1)

gegebenen Automorphismen, im Falle

ℤ_{9}

dagegen gibt es genau

1 \mapsto 1, 1 \mapsto 2, 1 \mapsto 4, 1 \mapsto 5, 1 \mapsto 7, 1 \mapsto 8

.
Man kann diese Gruppen auch vielleicht noch genauer klassifizieren:

ℤ_{6} :

Jede zweielementige Gruppe ist kanonisch zu

ℤ_{2}

isomorph.

ℤ_{9} :

Es gibt bis auf Isomorphie zwei Gruppen der Ordnung

6,

nämlich

ℤ_{6}

und

S_{3}

. Welche von beiden haben wir hier? Es muss sich um wine abelsche Gruppe handeln, also um

ℤ_{6},

denn die Verknüpfung entspricht der (kommutativen!) Multiplikation modulo 9.

KJ-007 aktiv_icon

18:07 Uhr, 23.04.2012

Okay ich glaube ich habe es grob verstanden... Wenn ich jetzt die Bilder angeben möchte habe ich es versucht mit einer Gruppentafel, so wie wir es auch in der Übung gemacht haben.
Leider glaube ich habe ich einen Fehler drinne...

Also wenn ich zu

ℤ_{9}

die Abbildungen anfange auf zu schreibe, dann ist ja klar dass

φ_{1} 1 \mapsto 1, 1 \mapsto 2, . .

,1 \mapsto 8

abgebildet wird. Wenn ich das jetzt soweiter führe komme ich aber schon bei

φ_{2}

auf einen Fehler, meiner Meinung nach, und zwar bildet sich nach meiner Rechnung

2 \mapsto 2, 2 \mapsto 4, 2 \mapsto 8, 2 \mapsto 1, 2 \mapsto 5

und

2 \mapsto 6

ab... aber das dürfte doch gar nicht sein oder? aber wenn ich

φ_{8} \circ φ_{2}

ausführe komme ich auf

a^{6} . .

. Ich bin verwirrt...

KJ-007 aktiv_icon

18:18 Uhr, 23.04.2012

Sorry hab mich einfach nur verrechnet :-) Vielen Dank trotzdem hat mir sehr gehlofen

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