Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Axiome Skalarprodukt unklar

Axiome Skalarprodukt unklar

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Axiom, Skalarprodukt, Überprüfe

greentea aktiv_icon

13:31 Uhr, 24.04.2011

Die Axiome kenne ich, jedoch ist schwierig für mich folgendes zu verstehen

< x, y >_{1} := \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n}

∣ x_{i} + y_{i} ∣

Wie soll ich nun damit arbeiten? in dieser Formel ist doch kein Produkt sondern eine Summe : x+y wie soll ich daraus nun ein Skalar bilden?

idee:

\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n}

∣ x_{i} ∣ + ∣ y_{i} ∣ = S u m m e

∣ y_{i} ∣ + ∣ x_{i} ∣ = S u m m e

∣ y_{1} + x_{2} ∣

theoretisch macht es sinn, aber es ist ja plus, also macht es letzendlich ja doch keinen sinn.
versteht das jmd?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Sina86

14:04 Uhr, 24.04.2011

Hi,

also so ganz verstehe ich dich leider nicht :-) Lass dich von dem Namen "Skalarprodukt" nicht täuschen, das Gebilde hat nichts mit Multiplikation zu tun und "Skalar" ist nur ein anderes Wort für ein Element aus einem Körper (also z.B. eine reelle oder komplexe Zahl). Und das Gebilde heißt so, da ich zwei Vektoren nehmen, sie reinpacke, also

< x, y >

bilde (ich "multipliziere" die Vektoren) und als Ergebnis ein Skalar heraus bekommen. Aber Vorsicht! Eigentlich spricht man nicht von Vektormultiplikation! Hier sind nur die Namen etwas verwirrend.

Ich gehe davon aus, dass du mit Vektorräumen über reellen Zahlen arbeitest. Dann gilt natürlich für jeden Summanden

∣ x_{i} + y_{i} ∣ \in ℝ

. Da ein Körper abgeschlossen unter (endlicher) Addition ist, ist auch

\sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{i} + y_{i} ∣ \in ℝ

. Da zudem

\frac{1}{2} \in ℝ

und

ℝ

abgeschlossen unter Multiplikation ist, ist

\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{i} + y_{i} ∣ = < x, y > \in ℝ

Dein Skalarprodukt schmeißt dir also wirklich ein Skalar raus. Du musst nur die Axiome zeigen.

Lieben Gruß
Sina

greentea aktiv_icon

14:16 Uhr, 24.04.2011

Danke für die Antwort, das hilft mir auf jeden Fall weiter.
Könntest du mir aber trotzdem noch sagen, ob mein Versuch richtig ist.
Zu zeigen ist ja <x,y> = <y,x>

Sina86

14:19 Uhr, 24.04.2011

Hm, tut mir Leid, ich sehe leider nicht, wo da der Zusammenhang ist. Schreibe doch mal

< x, y >

und

< y, x >

hin. Und überlege doch mal, was genau

x_{i}

und

y_{i}

ist...

greentea aktiv_icon

14:27 Uhr, 24.04.2011

x, y, z \in R^{n}

wenn <x,y>

:= \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n}

∣ x_{i} + y_{i} ∣

ist, ist dann <y,x>

:= \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n}

∣ y_{i} + x_{i} ∣

Sina86

15:14 Uhr, 24.04.2011

Genau, und warum sind diese Ausdrücke gleich?

greentea aktiv_icon

15:19 Uhr, 24.04.2011

weil man sie im reelen Raum einfach umtauschen kann (?)

Sina86

15:32 Uhr, 24.04.2011

Der Satz klingt nicht falsch, aber was genau meinst du damit? ;-)

greentea aktiv_icon

17:33 Uhr, 24.04.2011

^^ dass man im reelen Raum ein Umtausch möglich ist.
das hatte ich ja auch schon aufgeschrieben gehabt, nun wüsste ich jedoch nicht wie ich
<x,ay+bz> = a<x,y>+b<x,z>
an sich verstehe ich das natürlich, aber das plus verwirrt mich total.

x+ay+bz geht ja schlecht.

Sina86

18:09 Uhr, 24.04.2011

Nun, "Umtausch" schimpft sich "Kommutativgesetz", d.h. wenn

x_{i}, y_{i}

reelle Zahlen sind, dann ist

x_{i} + y_{i} = y_{i} + x_{i}

.

Hm, und jetzt wirds beknackt, denn normalerweise würde ich einfach

< x, a y + b z >

und

a < x, y > + b < x, z >

hinschreiben und dann überlegen was man machen muss.

Was ist eigentlich die Aufgabe? Ich war davon ausgegangen, zu zeigen, dass

< x, y >_{1}

ein Skalarprodukt ist, aber jetzt sehe ich, dass

< x, y >_{1}

kein Skalarprodukt ist, da eben diese Linearität im zweiten Argument nicht gilt...

greentea aktiv_icon

18:33 Uhr, 24.04.2011

die frage ist, dass ich überprüfen muss, ob die folgende darstellung ein skalarprodukt auf IR^n darstellt.
also heißt das, es funktioniert nicht und ist somit kein skalarprodukt? was anderes kann ich mir nicht vorstellen ^^ scheint ja nicht zu klappen

Sina86

18:35 Uhr, 24.04.2011

Ah, ok, das macht Sinn. Dann musst du jetzt nur zeigen, dass es kein Skalarprodukt ist, und das macht man mit einem Gegenbeispiel.

greentea aktiv_icon

18:38 Uhr, 24.04.2011

sprich ich mache ein bsp, das funktioniert wie x mal y?

Sina86

18:40 Uhr, 24.04.2011

Nein, du musst KONKRETE Vektoren x,y,z und Skalare a,b finden, so dass