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Axiome von Norm

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Axiom, Gruppen, Norm, Vektor, Vektorraum

greentea aktiv_icon

13:07 Uhr, 24.04.2011

Hallo,
ich muss die Axiome auf einer Summe beweisen. An sich ist das nicht schwer, jedoch bin ich etwas verwirrt.
1.

∣ ∣ x ∣ ∣_{1} := \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{i} ∣ = ∣ x_{1} ∣ + . . . + ∣ x_{n} ∣

Zeigen dass

∣ ∣ x ∣ ∣ > 0,

wenn

x \neq 0

soll ich das jetzt so eigen, dass

x^{2}

nie < 0 sein kann? Oder gibt es eine andere Möglichkeit es zu zeigen?

Wie soll ich

∣ ∣ x + y ∣ ∣ \leq ∣ ∣ x ∣ ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣

zeigen?

ich habe jetzt aus dem Buch die Cauchy-Schwarze Ungleichung. Aber ich verstehe sie nicht ganz. Könnte mir sie jmd erklären, warum genau gilt:

(∣ ∣ x ∣ ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣)^{2} = ∣ ∣ x ∣ ∣^{2} + 2 ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣^{2} \geq ∣ ∣ x ∣ ∣^{2} + 2 < x, y > + ∣ ∣ y ∣ ∣^{2} = ∣ ∣ x + y ∣ ∣^{2}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Sina86

13:54 Uhr, 24.04.2011

Hi,

also erstens, du sollst zeigen, dass für

x \neq 0

gilt:

∥ x ∥_{1} = \sum_{k = 1}^{n} ∣ x_{k} ∣ > 0

gilt. Da kommt kein

x^{2}

vor (ich schätze du schmeißt das mit der euklidischen Norm durcheinander).

zweitens:

∣ ∣ x + y ∣ ∣_{1} \leq ∣ ∣ x ∣ ∣_{1} + ∣ ∣ y ∣ ∣_{1}

lässt sich einfach zeigen (per Induktion über

n

), wenn man gezeigt hat, dass

∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣

, für alle

a, b \in ℝ / ℂ

gilt.

Bei der Frage zu dem letzten Term verstehe ich nicht ganz, wo das Problem ist (anscheinend redest du von einer Ungleichung in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt, ansonsten kann die Ungleichung so nicht aufgestellt werden). Du kannst die Ungleichung äquivalent umformen zu

∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥ \geq < x, y >

Und diese Ungleichung ist laut Cauchy-Schwartz immer erfüllt. Damit (wegen der äquivalenten Umformung) ist auch deine Ungleichung erfüllt.

Lieben Gruß
Sina

greentea aktiv_icon

14:28 Uhr, 24.04.2011

Also mit

x^{2}

meinte ich eigentlich nur, dass wenn ich die Norm ausschreibe als Wurzel aus

x^{2}

, dass das x ja dadruch immer positiv bleibt. kann ich das so machen? Ich bin mir eben nicht sicher, da ich es wirklich verwechsle.

Das Problem ist bei der Ungleichung, dass ich die umforung nicht verstehe. <x,y> = ||x|| + ||y|| + cos a

aber wie forme ich es nun oben, sodass die Ungleichung gilt?

Sina86

15:11 Uhr, 24.04.2011

Du meintest sicherlich

∥ x ∥ = \sqrt{< x, x >}

. So definiert man zu einem gegebenen Skalarprodukt eine Norm. Aber umgekehrt gilt NICHT immer, dass zu einer gegebenen Norm ein entsprechendes Skalarprodukt existiert. Und wichtig ist, dass

x

keine Zahl ist, sondern ein Vektor

x \in ℝ^{n}

. D.h. du kannst schreiben

x = (\begin{array}{rcl} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array})

In so fern macht der Ausdruck

x^{2}

gar keinen Sinn...

Sina86

15:17 Uhr, 24.04.2011

Z.B. gibt es die Supremumsnorm:

∥ x ∥_{sup} = max {∣ x_{1} ∣, . . ., ∣ x_{n} ∣}

Diese Norm wird von keinem Skalarprodukt induziert, d.h. es gibt kein Skalarprodukt

< ., . >_{sup}

, so dass

∥ x ∥_{sup} = \sqrt{< x, x >_{sup}}

ist.

greentea aktiv_icon

15:19 Uhr, 24.04.2011

Okay danke, das hatte ich noch gebraucht. aber dann verstehe ich nicht warum
2||x|| ||y||

\geq

2<x,y>
und wie kann ich dann zeigen, dass ||x|| > 0 ist ? Ich mein an sich ist ja klar warum. Muss ich einfach schreiben

\sqrt{x^{2}}

ist immer > 0?

Sina86

15:27 Uhr, 24.04.2011

Ok, ich glaub hier geht jetzt einiges durcheinander... Ich vermute das Problem liegt an einer grundliegenden Sache. Es gibt nicht EIN EINZIGES Skalarprodukt, sondern unendlich viele. Und das einzige, was diese Skalarprodukte gemeinsam haben, sind die 3 Axiome, die sie erfüllen.

Zudem gibt es noch mehr Normen. Denn zu jedem Skalarprodukt kann ich eine Norm definieren (über die Wurzel aus dem Skalarprodukt von x mit sich selbst). Dann gibt es aber noch Normen, für die es kein Skalarprodukt gibt. Siehe Supremumsnorm.

Und die Gleichung (ich glaube du hast sie falsch aufgeschrieben)

< x, y > = ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥ \cdot \cos a

gilt nur für das EUKLIDISCHE SKALARPRODUKT, das ist ein einziges ganz spezielles, nämlich

< x, y > = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}

, für alle anderen Skalarprodukte gilt diese Gleichung jedoch nicht, sondern lediglich die Cauchy-Schwartz-Ungleichung. Dieses Skalarprodukt hat aber gar nix mit deiner Aufgabe hier zu tun. Du sollst überprüfen, ob die dir gegebene Abbildung (die sogenannte 1-Norm) auch wirklich eine Norm ist. Ob es ein dazugehöriges Skalarprodukt gibt, nennen wir es 1-Skalarprodukt, ist eine ganz andere Frage und können wir gerne später diskutieren.

Sina86

15:31 Uhr, 24.04.2011

"Ich mein an sich ist ja klar warum. Muss ich einfach schreiben

\sqrt{x^{2}}

ist immer > 0?"

Nein! Für einen Vektor

x \in ℝ^{n}

ist

x^{2}

gar nicht definiert... Und noch viel weniger das Wurzelziehen aus einem Vektor. Das geht nur bei Zahlen, nicht aber bei Vektoren!

Sina86

15:31 Uhr, 24.04.2011

"Ich mein an sich ist ja klar warum. Muss ich einfach schreiben

\sqrt{x^{2}}

ist immer > 0?"

Nein! Für einen Vektor

x \in ℝ^{n}

ist

x^{2}

gar nicht definiert... Und noch viel weniger das Wurzelziehen aus einem Vektor. Das geht nur bei Zahlen, nicht aber bei Vektoren!

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15:38 Uhr, 24.04.2011

ups, ja hab mich verschrieben ^^
Okay, das verwirrt mich immer, in welchem raum das liegt. Es ist nur so, dass ich die Dreiecksungleichung nicht nachvollziehen kann, warum

(∣ ∣ x ∣ ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣)^{2}

größer gleich

∣ ∣ x + y ∣ ∣^{2}

ist. Logisch kann ich es nachvollziehen, ich mein ist ja klar warum. aber den Beweis verstehe ich nicht ganz. Wenn du mir den erklären würdest, käme ich auf jeden fall weiter.

Sina86

16:00 Uhr, 24.04.2011

Ok, wenn bekannt ist, dass

\forall a, b \in ℝ : ∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣

. Schau dir an:

∥ x + y ∥ = \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{i} + y_{i} ∣ \leq \sum_{i = 1}^{n} (∣ x_{i} ∣ + ∣ y_{i} ∣) = \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{i} ∣ + \sum_{i = 1}^{n} ∣ y_{i} ∣ = ∥ x ∥ + ∥ y ∥

Dabei habe ich im ersten Schritt die Definition der Norm angewendet. Im zweiten Schritt die Ungleichung für den Betrag, die ich ganz oben hingeschrieben habe (streng genommen müsste man das über Induktion machen, aber wahrscheinlich kannst du darauf verzichten). Im dritten Schritt habe ich das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz angewendet und im letzten Schritt wieder die Definition der Norm.

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17:30 Uhr, 24.04.2011

ja du hast das jetzt nur eingesetzt oder nicht? aber wenn ich die ungleichheit beweisen soll, muss ich das doch ueber die dreiecksungleichung machen

Sina86

17:50 Uhr, 24.04.2011

Hm, jetzt bin ich verwirrt. Die Aufgabe ist doch zu zeigen, dass die oben definierte Funktion eine Norm ist, oder? Da kannst du die Dreiecksungleichung einfach nachrechnen.

Die andere Ungleichung, die du aufgeschrieben hast, gilt AUSSCHLIESSLICH für Normen, die durch ein Skalarprodukt induziert werden. Aber NICHT FÜR ALLE NORMEN!!!

Dann gilt:

∥ x + y ∥^{2} = < x + y, x + y > = < x, x > + < y, x > + < x, y > + < y, y > = ∥ x ∥^{2} + < x, y > + < x, y > + ∥ y ∥^{2}

= ∥ x ∥^{2} + 2 < x, y > + ∥ y ∥^{2} \leq ∥ x ∥^{2} + 2 \cdot ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥ + ∥ y ∥^{2} = (∥ x ∥ + ∥ y ∥)^{2}

\Rightarrow ∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥

1. Schritt: Norm wird von Skalarprodukt induziert, also:

∥ x ∥ = \sqrt{< x, x >}

2. Schritt: Biliniarität des Skalarprodukts
3. Schritt: Symmetrie des Skalarprodukts
4. Schirtt: Zusammenrechnen
5. Schritt: Cauchy-Schwartz-Ungleichung
6. Schritt: 2. binomische Formel
7. Schritt: (beim Pfeil) Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend, d.h. wenn

a \leq b

ist, dann ist

\sqrt{a} \leq \sqrt{b}

(für

a, b \geq 0

)

Diesen Beweis macht man, wenn man allgemein zeigen will, dass die durch

∥ x ∥ := \sqrt{< x, x >}

definierte Funktion (zu einem beliebigen Skalarprodukt) auch tatsächlich eine Norm ist (dies ist der allgemeine Beweis zur Dreiecksungleichung).

In deinem Fall bringt dir das aber nichts, denn du weißt nicht, ob deine Norm durch ein Skalarprodukt induziert wird. Deswegen kannst du auf deinen Fall diese Ungleichung gar nicht anwenden!

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18:05 Uhr, 24.04.2011

achso!, also muss ich es lediglich so machen, wie du es vorher gezeigt hast...
dann hat sich das thema zum glück erledigt ^^ oh man, da merkt man, dass absolut keine Grundlage bei mir da ist. in meinem mathebuch steht so wenig drin und kaum erklärt =/
danke für deine hilfe ;-) hast mir sehr geholfen

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18:22 Uhr, 24.04.2011

ach ich habe noch eine sache vergessen, bzw im nachhinein hab ich die frage blöd formuliert... wie kann ich zeigen dass ||x||> 0 ist?

Sina86

18:25 Uhr, 24.04.2011

Nun, das kannst du aber selber ;-) Was bedeutet es denn, wenn

x \neq 0

ist. Dann einsetzen und schauen was passiert ;-)

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18:30 Uhr, 24.04.2011

^^ gute frage, da hab ich grad irgendwie einen brett vorm kopf

Sina86

18:36 Uhr, 24.04.2011

Wie sieht denn der Nullvektor aus?

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18:43 Uhr, 24.04.2011

$\vec{0}$ =0?

Sina86

18:46 Uhr, 24.04.2011

Nun, das ist weder falsch noch richtig. Schau mal weiter oben, da habe ich in einem von meinen Beiträgen den Vektor

x

einmal konkret hingeschrieben. Wie sieht der Nullvektor aus?

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18:56 Uhr, 24.04.2011

∥ x ∥ 1 = \sum_{k = 1}^{n} ∣ x_{k} ∣ > 0 ?

Sina86

19:00 Uhr, 24.04.2011

Ich meinte

x = (\begin{array}{rcl} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array})

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19:03 Uhr, 24.04.2011

achso und das setzt ich größer als null, setzt es dann die gleichung und hab es damit bewiesen

Sina86

19:15 Uhr, 24.04.2011

??? Das kannst du nicht größer Null setzen, das ist ein Vektor!!!
Also, was ich dir jetzt raten würde, ist, dass du dir noch mal deine Unterlagen und dein Buch von Anfang an durchschaust und überlegst, was der Unterschied zwischen einem Vektor und einer Zahl ist. Das müsst ihr irgendwo gemacht haben. Und vor allem, mit welchen Vektoren du hier hantierst...

Alternativ findest du auch hier im Forum (alte Beiträge, etc.) und im Internet (u.a. auf Wikipedia, aber einfach mal googeln) weitere Hilfestellungen.

Sei mir nicht böse, aber ich werde das jetzt nicht mit dir durchkauen, das ist zu langatmig. Aber das ist absolut wichtig! Sonst kannst du diese Aufgaben nicht lösen (das gilt auch für die Skalarprodukt-Aufgabe) und wirst auch in Zukunft immer mehr Schwierigkeiten bekommen. Wenn du dann soweit bist, helfe ich dir auch gerne wieder weiter ;-) Aber hier an dieser Stelle hat es einfach keinen Zweck :-(

greentea aktiv_icon

19:26 Uhr, 24.04.2011

ja das kann ich natürlich verstehen ^^ aber mit dem vektor hatte ich mich blöderweise falsch ausgedrückt, da meinte ich natürlich dass die einzelnen komponenten größer ist als x.
blöderweise hab ich kein buch dass mir das so erklärt, dass ich es verstehe und meine unterlagen ließt sich wie dieses buch, kurz und knapp ohne jegliche erläuterung. diese übungen habe auch nur an manchen punkten anschluss zur vorlesung. =/ bsp hatten wir das mit dem skalarprodukt gar nicht gehabt (also die axiome) das müssen wir leider alles selbst herausfinden... aber ich merke selbst dort sind große lücken. naja ich hab auch nicht mehr wirklich lust darauf. aber trotzdem danke

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