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B-Splines berechnen

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Tags: B-Splines, Basis Splines, Beispiel, Numerische Mathematik, Rekursionsformel, Splines

sasmey aktiv_icon

13:16 Uhr, 27.07.2010

Hallo,
ich muss im Rahmen meiner Diplomarbeit B-Splines berechnen. Leider komme ich nicht aus dem mathematischen Bereich und finde keinen Ansatz.

Das Problem lautet wie folgt:

Ich habe 3 Knotenpunkte,

0, 5, 27

. Innerhalb der beiden Intervalle

[0; 5]

und

[5; 27]

befinden sich

20

Punkte, die ich aufsteigend sortiert habe. Nun muss ich mittels der Rekursionsformel eine B-Spline-Kurve vom Gerade 3 durch die Punkte zeichnen.

Kann mir bitte jemand den Lösungsweg verständlich erklären und beschreiben?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

09:43 Uhr, 28.07.2010

Ist nicht ganz klar:
Hast du innerhalb der Teilintervalle

20

Punkte, die wiederum Knotenpunkte vno Teilsplines sein sollen? Oder nur Stellen (x-Werte), an denen der y-Wert berechnet werden soll? Oder soll ein kubischer SPline gefunden werden, der die

20

Punkte möglichst gut annähert?

Mit drei Knotenpunkten

A = (x_{0}, y_{0}), B = (x_{1}, y_{1}), C = (x_{2}, y_{2})

kommt man im Prinzip eher auf einen quadratischen Spline, der von A nach

C

verläuft und "gummiartig" zu

B

hingezogen wird.
Man kann natürlich auch explizite Formeln angeben, aber auch wie folgt rekursiv vorgehen:

Der durch

A, B, C

gegebene Spline verläuft in der konvexen Hülle (dem aufgespannten Dreieck) von A nach

C,

wobei die beiden an

B

anliegenden Seiten Tangenten sind.
Berechnet man nacheinander durch simple Mittelwertbildung

B_{1} := \frac{A + B}{2}

C_{2} := \frac{B + C}{2}

C_{1} = A_{2} := \frac{B_{1} + C_{2}}{2}

und benennt noch

A_{1} := A, C_{2} := C,

so ergeben die beiden durch

A_{1}, B_{1}, C_{1}

bzw.

A_{2}, B_{2}, C_{2}

beschriebenen Splines zusammen den ursprünglichen Spline.

Sofern

x_{0} < x_{1} < x_{2}

gilt, lässt sich die Kurve als Funktion

f : x \mapsto y

auffassen. Man kann dann für

x_{0} < x < x_{2}

sukzessive Näherungswerte für

f (x)

finden, indem man wiederholt die oben gezeigte Zweiteilung der Kurve vornimmt und immer nur die passende Hälfte weiterverwendet und wiederum halbiert.

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