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Bahnen von n-Tupeln

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Gruppen

Tags: Bahn, Gruppe, Matrixmultiplikation, Operation

Eisregen aktiv_icon

12:52 Uhr, 11.11.2019

Hallo, ich bin durch Google auf dieses Forum gestoßen und bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Die Gruppe

{GL}_{n} (F_{p})

operiert durch Matrixmultiplikation auf

F_{p}^{n}

. Bestimme die Bahnen in

F_{p}^{n}

.

Ich stelle mir

F_{p}

als

{\overline{0}, \overline{1}, . . ., \overline{p - 1}}

vor. Ich wollte erst einmal mit den Bahnen der einfachsten Tupeln

0, e_{1}, . . ., e_{n} \in F_{p}

anfangen:

A 0 = 0 \forall A \in {GL}_{n} (F_{p}) \Rightarrow

Bahn von

0

ist

{0}

A e_{1} = (a_{11}, . . ., a_{n 1})^{T}

.

Aber schon hänge ich :-/

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

13:07 Uhr, 11.11.2019

Hallo,
dass die Bahn von

0

nur

{0}

ist, stimmt schon mal.
Und sich Gedanken über

A e_{1}

zu machen, ist auch durchaus sinnvoll.
Das sollte man ausgestalten ;-)
Sei

v \neq 0

ein beliebiger Vektor. Überlege dir, dass es eine
Matrix

A \in G L_{n}

gibt, deren erste Spalte

= v

ist. Dann hast du

A e_{1} = v

v

liegt also in derselben Bahn wie

e_{1}

, ...
Gruß ermanus

Eisregen aktiv_icon

13:36 Uhr, 11.11.2019

Danke für deine schnelle Antwort

"Überlege dir, dass es eine Matrix

A \in {GL}_{n}

gibt, deren erste Spalte

v \neq 0

ist."
Da

A

invertierbar, müssen ihre Spaltenvektoren l. u. sein und

F_{p}^{n \times n}

erzeugen. Deshalb kann ich zumindest eine Spalte

v \neq 0

beliebig wählen, z.B. die erste, richtig?

"Dann hast du

A e_{1} = v

v

liegt also in derselben Bahn wie

e_{1}

, ..."
Ah ich wähle eine bestimmte Matrix

A

, deren erste Spalte

= v

ist. Das Bild von

e_{1}

ist dann

v

, also alles (ganz

F_{p}

), weil ich

v \neq 0

beliebig wählen kann?

Analoges gilt dann für

e_{2}, . . . e_{n}

. Ich verstehe die Formulierung "

v

liegt also in derselben Bahn wie

e_{1}

" noch nicht ganz. Meinst du damit bildlich gesprochen, dass

v

ein Bahnpunkt von

e_{1}

ist?

ermanus aktiv_icon

13:42 Uhr, 11.11.2019

Du kannst ja jedes

v \neq 0

zu einer Basis

v, v_{2}, \dots, v_{n}

ergänzen.
Dann nimmst du diese Basisvektoren als Spalten von

A

.
Du hast Recht: da

v

beliebig ist, liegen alle Vektoren

\neq 0

in der Bahn
von

e_{1}

. Um

e_{2}, \dots, e_{n}

musst du dich garnicht mehr kümmern;
denn die liegen ja auch in der Bahn von

e_{1}

.
Es gibt also nur 2 Bahnen:

{0}

und

V \ {0}

.

"

v

liegt in der Bahn von

e_{1}

" bedeutet, dass

v

ein Element der
Bahn von

e_{1}

ist. Die Bahnen sind doch Äquivalenzklassen ...,
d.h.

v

und

e_{1}

sind Repräsentanten derselben Bahn.

Gruß ermanus

Eisregen aktiv_icon

13:58 Uhr, 11.11.2019

Danke. Ich wünschte, ich könnte in sechs Minuten auf so eine Frage antworten :-D)

Dann ist der Clou sozuagen, dass ich ausnutze, dass Bahnen entweder gleich oder disjunkt sind? Dass Bahnen Äquivalenzklassen sind, hatten wir glaube ich gar nicht. Aber ist ja irgendwie das Gleiche :-)

Also da

v \neq 0

beliebig in der Bahn von

e_{1}

liegt, ist

{GL}_{n} e_{1} = {GL}_{n} v = F_{p}^{n} \ {0}

. Und

0

ist seine eigene Bahn.

Ich glaube, ich habe es verstanden :-)

ermanus aktiv_icon

14:00 Uhr, 11.11.2019

Ja, das hast du wohl alles richtig verstanden :-)

Eisregen aktiv_icon

14:03 Uhr, 11.11.2019

Danke!

Eisregen aktiv_icon

15:03 Uhr, 11.11.2019

Tut mir Leid, ich bin's doch nochmal.

Ich wollte jetzt noch alle Isotropiegruppen

{GL}_{n} (F_{p})_{v}

aufschreiben (Fernziel ist die Bestimmung von

∣ {GL}_{n} (F_{p}) ∣

). Ich dachte, das müsste so ähnlich funktionieren. Tut es vielleicht auch :-D). Deshalb habe ich wieder

e_{1}

genommen:

A e_{1}

soll

= e_{1}

sein. Das gilt natürlich für die Einheitsmatrix, aber auch für jede andere reguläre Matrix, deren erste Spalte

e_{1}

ist (und alle Spalten zusammengenommen wieder eine Basis ergeben).

Und dann... weiß ich nicht weiter :-)

ermanus aktiv_icon

15:09 Uhr, 11.11.2019

OK! Ich denke darüber nach ;-)

ermanus aktiv_icon

16:10 Uhr, 11.11.2019

Habe nachgedacht ;-)
Es ist

{(G L_{n})}_{e_{1}} = {(\begin{array}{cc} 1 & * \\ 0 & A_{n - 1} \end{array}) ∣ A_{n - 1} \in G L_{n - 1}}

. Ich hoffe, du verstehst diese "Blockschreibweise".
Die Zeile

*

ist beliebig wählbar, nimmt also

p^{n - 1}

verschiedene mögliche Werte an.
Wegen

∣ G L_{n} ∣ = ∣ (G L_{n})_{e_{1}} ∣ \cdot ∣ G L_{n} \cdot e_{1} ∣

gilt dann

∣ G L_{n} ∣ = p^{n - 1} \cdot ∣ G L_{n - 1} ∣ \cdot (p^{n} - 1)

Gruß ermanus

Eisregen aktiv_icon

16:46 Uhr, 11.11.2019

Das sieht... gut aus! Danke! Ich muss das noch einmal genauer durchdringen.

Ich verstehe die Blockschreibweise, auch wenn ich da nie selbst darauf gekommen wäre... Ist es denn bei Isotropiegruppen genauso, dass sie (bis auf das neutrale Element) entweder gleich oder disjunkt sind? Also kann ich hier von der Isotropiegruppe von

e_{1}

wieder auf die aller anderen

v \neq 0

schließen?

ermanus aktiv_icon

16:57 Uhr, 11.11.2019

Ja das kannst du; obwohl sie "überlappen", da sie zumindest
das neutrale Element gemeinsam haben, aber häufig auch mehr.
Denn man weiß, dass sie alle untereinander konjugiert sind,
wenn sie zu Elementen derselben Bahn gehören und daher dieselbe
Anzahl Elemente enthalten.
Zum Glück kann uns das aber alles egal sein; denn die Gleichung

∣ G ∣ = ∣

Isotropiegruppe von

x ∣ \cdot ∣

Bahn von

x ∣

gilt für jede endliche Gruppe, die auf einer Menge operiert.

Eisregen aktiv_icon

17:18 Uhr, 11.11.2019

Das wird wohl nicht mein Lieblingsthema :-D). Aber ich habe deine Ausführungen jetzt verstanden.

Vielen herzlichen Dank nochmal!

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