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Baire'scher Kategoriensatz und seine Formulierunge

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Baire'scher Kategoriensatz, Funktionalanalysis, magere Mengen

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22:57 Uhr, 21.07.2026

Hallo Leute, ich komme bei dem Nachweis der Äquivalenz zweier Formulierungen des Baire'schen Kategoriensatzes nicht weiter.

Version 1:
In einem vollständigen metrischen Raum

M

ist ein Durchschnitt abzählbar vieler nichtleerer, offener und dichter Mengen in

M

dicht.

Version 2:
Es sei

M

ein vollständiger metrischer Raum. Dann ist $M$ von zweiter Kategorie in sich und jedes Komplement einer mageren Menge von zweiter Kategorie.

Richtung

1 \Rightarrow 2 :

Angenommen, es wäre

M = ⋃_{j = 1}^{\infty} N_{j}

mit (abgeschlossenen) in

M

nirgendsdichten Mengen

N_{j}

für alle

j \in ℕ

. Dann folgt

\emptyset = M \ M = M \ ⋃_{j = 1}^{\infty} N_{j} = ⋂_{j = 1}^{\infty} M \ N_{j}

und

M \ N_{j}

ist offen und dicht in

M

für alle

j \in ℕ

. Nach Version 1 ist dies ein Widerspruch. Ist

R \subseteq M

eine Residualmenge, das heißt

R = M \ S

mit einer Menge mageren

S \subseteq M,

dann folgt die Gleichheit

M = S \cup (M \ S) = S \cup R

. Wäre

R

mager in

M,

dann wäre

M

ebenfalls mager, was, wie wir soeben gesehen haben, nicht möglich ist.

Bei der Rückrichtung komme ich jetzt nicht weiter (Version

2 \Rightarrow

Version

1)

. Mein Ansatz wäre ebenfalls ein Widerspruchsbeweis:

Sei

U_{j} = M \ N_{j}

offen und dicht in

M

für alle

j \in ℕ

. Wir betrachten den abzählbaren Schnitt

⋂_{j = 1}^{\infty} U_{j}

und nehmen an dieser wäre nicht dicht.

Ab hier komme ich nicht weiter, mein nächstes Schritt wäre zu sagen, dass der Schnitt nicht leer sein kann, denn sonst wäre

M

mager

(\emptyset = ⋂_{j = 1}^{\infty} M \ N_{j} = M \ ⋃_{j = 1}^{\infty} N_{j} \Rightarrow M = ⋃_{j = 1}^{\infty} N_{j})

. Damit wäre die Dichtheit des Schnitts noch nicht nachgewiesen? Oder folgt daraus, dass der Schnitt, wenn er nicht leer ist dicht ist, weil

U_{j}

dicht sind?

Eine andere Idee wäre unter der Annahme das der Schnitt nicht dicht sei, zu sagen, dass dann eine offen Umgebung

O \in M

existiert die einen leeren Schnitt mit

⋂_{j = 1}^{\infty} U_{j}

hat. Dann würde folgen

\emptyset = O \cap ⋂_{j = 1}^{\infty} M \ N_{j} = ⋂_{j = 1}^{\infty} O \cap (M \ N_{j}) = ⋂_{j = 1}^{\infty} O \ N_{j} = O \ ⋃_{j = 1}^{\infty} N_{j},

also

O = ⋃_{j = 1}^{\infty} N_{j},

also

O

mager.Hier klingt es fast schon verlockend zu sagen, dass eine offene Menge in einem vollständigen metrischen Raum stets von zweiter Kategorie ist, aber das wäre einfach die Anwendung einer anderen Formulierung des Baire'schen Kategoriensatzes.

Vielleicht hat ja jemand eine Idee. Ich hoffe, es ist soweit alles verständlich. Vielen Dank im Voraus! :-)

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