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Bais von ker(f) bestimmen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: basis, Bild, Kern, LGS, lineares komplement, Matrizenrechnung

flowerpower1234 aktiv_icon

12:11 Uhr, 09.03.2017

Hallo ich habe bei folgender Aufgabe Probleme und wollte fragen, ob mein Ansatz korrekt ist. Die Aufgabe habe ich als Bild angehängt.

Mein Ansatz wäre folgender:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ - 2 & - 3 & - 5 & 0 \\ - 4 & - 7 & - 7 & - 4 \\ 3 & 5 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{matrix})

Rechnung: II+2I, III+4I, IV-3I,

V - I

\to (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 & - 1 & 3 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

Rechnung: III-II, IV+II und anschließend Vertauschen von III und

V

\to (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

I+2III, II+4III

\to (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

I-2II

\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

x_{3}

ist frei wählbar

Die Matrix ist jetzt in reduzierter ZSF.

Damit müsste man den Kern ablesen können, der folgender ist:

Kern(A)=

{(\begin{matrix} - 7 x_{3} \\ 3 x_{3} \\ x_{3} \\ 0 \end{matrix})}

Für die Basis vom Kern habe ich dann immer die Standardbasisvektoren eingesetzt. Wäre das hier dann als Basis für den Kern

(\begin{matrix} - 7 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

?

Wie man das lineare Komplement bestimmt, weiß ich leider nicht. Über einen möglichen Lösungsweg wäre ich da sehr dankbar.

ii) Die Matrix ist ja schon in ZSF. Dann kann man das Bild direkt ablesen. In der ersten, dritten und vierten Spalte sind die Stufen der Matrix, weshalb diese Vektoren aus der Ausgangsmatrix die Basis des Bildes bilden.

im(f)=

{(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 7 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})}

Hier weiß ich leider auch nicht, wie man das lineare Komplement des Bildes bestimmt.

Für Korrekturen in den bereits angegebenen Rechnungen bzw. für Lösungsvorschläge bei den fehlenden Teilen bin ich dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

flowerpower1234 aktiv_icon

10:27 Uhr, 10.03.2017

*push*

ledum aktiv_icon

13:01 Uhr, 10.03.2017

Hallo
du suchst einen weiteren Unterraum

U'

des

ℝ^{5},

einen komplementären U=im(f) so dass

U + U' = ℝ^{5}

und

U \cap U' = 0

. also 2 von deiner Basis linear unabhängige Vektoren. di deine Basis zu einer Basis von

ℝ^{5}

machen, am einfachsten indem die neuen Vektoren senkrecht zu allen stehen. (vielleicht lohnt es sich die Basis erst zu vereinfachen?)
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

13:03 Uhr, 10.03.2017

Hallo
du suchst einen weiteren Unterraum

U'

des

ℝ^{5},

einen komplementären U=im(f) so dass

U + U' = ℝ^{5}

und

U \cap U' = 0

. also 2 von deiner Basis linear unabhängige Vektoren. di deine Basis zu einer Basis von

ℝ^{5}

machen, am einfachsten indem die neuen Vektoren senkrecht zu allen stehen. (vielleicht lohnt es sich die Basis erst zu vereinfachen?)
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

13:13 Uhr, 10.03.2017

Hallo
du suchst einen weiteren Unterraum

U'

des

ℝ^{5},

einen komplementären U=im(f) so dass

U + U' = ℝ^{5}

und

U \cap U' = 0

. also 2 von deiner Basis linear unabhängige Vektoren. di deine Basis zu einer Basis von

ℝ^{5}

machen, am einfachsten indem die neuen Vektoren senkrecht zu allen stehen. (vielleicht lohnt es sich die Basis erst zu vereinfachen?)
Gruß ledum

flowerpower1234 aktiv_icon

15:48 Uhr, 10.03.2017

Hi danke für die Hilfe. Bei deinem Vorschlag beziehst du dich auf den Aufgabenteil ii) oder?
Wie vereinfacht man denn am besten die Basis? Wenn man mit der Basis wie im Gauß-Algorithmus Umformungen machen darf, dann könnte ich die vereinfachte Basis ja bereits oben ablesen.

Wäre damit dann im(f)

= {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}

?

Das lineare Komplement könnte man dann ja auch recht einfach ablesen:

{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}

Wenn ich jetzt mit meiner Lösung völlig falsch liege, könntest du mir dann eine mögliche Lösung zeigen?

Schon einmal Danke für die Hilfe!!!

ledum aktiv_icon

22:36 Uhr, 10.03.2017

Hallo
nein, das ist sicher keine Basis des Bildes, du kannst ja nicht die gefundenen Bilder damit linear kombinieren.
du kannst aus einer Basis

b 1, b 2, b 3

eine andere machen durch

r \cdot b 1 + s \cdot b 2, b 2, b 3, b 4

usw
du musst mit der neuen Basis natürlich jede Vektor der alten erzeugen können . ich hab grade nicht so viel Zeit, aber vielleicht findest du einfach 2 Vektoren, die man nicht aus deinen 3 darstellen kann, oder 2 die senkrecht auf allen 2 stehen.
ein "Kochrezept" findest du hier massmatics.de/merkzettel/#!354:Vektoren_zu_Basis_ergaenzen
Gruß ledum

flowerpower1234 aktiv_icon

17:34 Uhr, 11.03.2017

Danke für die Anleitung. So etwas habe ich schon gesucht. Wenn ich die Anleitung richtig verstanden habe, müsste ich folgendermaßen vorgehen:

Die 3 Vektoren zeilenweise aufschreiben und 2 Nullzeilen ergänzen:

(\begin{matrix} 1 & - 2 & - 4 & 3 & 1 \\ 2 & - 3 & - 7 & 5 & 2 \\ 2 & 0 & - 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

II-2I, III-2I

\to (\begin{matrix} 1 & - 2 & - 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & - 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

III-4II

\to (\begin{matrix} 1 & - 2 & - 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

die zu ergänzenden Vektoren wären dann

(0,0,1,0,0)

und

(0,0,0,1,0)

Die beiden Vektoren würden dann doch auch das lineare Komplement bilden oder?

Ist die Vorgehensweise bei dem linearen Komplement des Kerns dann analog?

Danke für die Hilfe.

ledum aktiv_icon

18:22 Uhr, 11.03.2017

Hallo
dein Vorgehen ist richtig, nachgerechnet hab ich nicht, aber als Probe_ die gesamten 5 Vektoren müssen jetzt lin unabhängig sein. und für den Kern entsprechend, da kann man aber leichter direkt die lin. unabhängigen raten.
Gruß ledum

flowerpower1234 aktiv_icon

13:34 Uhr, 12.03.2017

ok super danke dir Hast mir wirklich geholfen mit der Aufgabe und deinem "Kochrezept"

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