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Banachraum, Dualraum
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Funktionalanalysis
 
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Ich habe einen reellen Banachraum X gegeben, sei eine positive Nullfolge und eine Folge im Dualraum X* s.d. und s.d. . (*) Nun soll ich zeigen, dass beschränkt ist. D.h. ich muss doch zeigen, dass ist, oder? Was mich allerdings an der ganzen Sache irritiert, ist die Abschätzung (*). Zum einen habe ich das Gefühl, sie ist nicht notwendig und zum anderen verwirrt es mich, weil da drin schon vorkommt. Jedes ist ja in X* also dem Dualraum von X, d.h. jedes ist stetig und beschränkt, d.h. Für , ist also also insbesondere auch . Wozu brauche ich die Abschätzung (*)? Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen, ich wäre euch sehr dankbar. LG Didgi |
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Was ist über die Funktion C(x) gesagt? Gar nichts? |
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Nein, über C(x) wird nichts weiter gesagt, ausser dass die Werte in liegen. |
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Ich glaube, hier muss man den Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit benutzen: http://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_der_gleichm%C3%A4%C3%9Figen_Beschr%C3%A4nktheit |
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Ja, das habe ich mir auch gedacht, aber ich frage mich dann, wieso sie diese Abschätzung angeben? Naja... Also du meinst, ich kann dann einfach sagen, weil , weil , also beschränkt und falls liegt, dann ist also insbesondere und dann können wir den Satz von Banach Steinhaus über die gleichmässige Beschränktheit nutzen und bekommen dann, dass Macht das Sinn? |
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Irgendwo muss man ja die Folge nutzen. Wobei meines Erachtens muss sie nicht unbedingt eine Nullfolge sein, es würde reichen, wenn sie einfach nur beschränkt wäre. |
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Ok. Also wir wissen ja, dass , , ist auf diesem Ball ja auch beschränkt, denn ||.|| ist doch eine stetige Funktion, oder? Also ist , aber da wir immer solch ein r finden, gilt diese Ungleichung also für jedes , insbesondere ist dann der und dann können wir das Beschränktheitsprinzip anwenden, ist das so richtig argumentiert? Vielen Dank schon im Voraus. |
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Ne, leider nicht ganz. Was wir brauchen: dass für jedes fixiertes x beschränkt ist, als Folge gesehen. Dann würde der Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit greifen und wir könnten folgern, dass auch die Folge beschränkt ist. Also wir müssen Folgendes zeigen: beschränkt für jedes beliebiege fixierte x. Da f_n alle linear sind und wir skalieren können, reicht auch zu zeigen, dass für jedes x aus beschränkt ist. Und zwar als Folge. Das haben wir noch nicht gezeigt, und ich hatte Unrecht, da reicht wohl nicht, wenn nur beschränkt ist. Damit müssen wir noch irgendwie das nutzen, dass eine Nullfolge ist. Damit ist diese Aufgabe noch nicht gelöst, sorry. Ich denke jetzt darüber nach, vielleicht fällt mir irgendeine Idee ein. :-) |
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