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Banachraum aller stetigen komplexwertigen Folgen

Universität / Fachhochschule

Tags: abgeschlossen, Banachraum, Norm, Unterraum

Mathe076 aktiv_icon

14:03 Uhr, 19.04.2015

"Man betrachte den Banachraum

l^{\infty} (N, C)

aller beschränkten, komplexwertigen Folgen versehen mit der Norm

{| | . | |}_{\infty};

also

{| | {(z_{n})}_{n \in N} | |}_{\infty} =

supremum_

{

\in N} | z_{n} |

.

Zeigen Sie, dass die Menge

c_{0} (N, C)

aller komplexwertiger Nullfolgen ein abgeschlossener Unterraum von

l^{\infty} (N, C)

ist.

Weiters bestimme man den Abschluss

c (F)

von

F

in dem Banachraum

l^{\infty} (N, C),

wobei

F = {{(z_{n})}_{n \in N} \in l^{\infty} (N, C) : \exists N \in N, z_{n} = 0

für alle

n \geq

}

."

Bei dieser Aufgabe komme ich leider nicht wirklich weiter.

Also, erst mal zum ersten Punkt:

Es gibt einen Hinweis dazu: "Verwende Lemma

8.7.1

für die abgeschlossenheit von c_0".

Zuerst sollte man aber glaube ich überhaupt zeigen, dass die Menge aller komplexwertiger Nullfolgen überhaupt ein Unterraum von den Raum aller beschränkter, komplexwertiger Folgen ist. In linearer Algebra hatten wir das Kriterium

1. zz:

U \neq

die leere Menge.

Da alle Folgen in

l^{\infty} (N, C)

komplexwertig sind und es sicherlich welche gibt , die ungleich 0 sind, kann

c_{0}

nicht gleich 0 sein. (reicht das als Beweis? sollte ich gleich ein Beispiel für eine beschränkte, komplexwertige Nullfolge finden?)

2. zz: a+xb

\in U

für alle

a, b \in U

und

x \in K

.

Im 1. Semester haben wir gelernt, dass eine Nullfolge multipliziert mit einem

x \in K

immer noch gegen 0 konvergiert. Und

lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b

. Somit sollte das also gezeigt sein...?

Jetzt muss noch gezeigt werden, dass der Unterraum abgeschlossen ist.

Lemma

8.7.1 :

"Seien

(I, \leq

_I ) und

(J, \leq_{J})

zwei gerichtete Mengen, und sei

(Y, d)

ein vollständig metrischer Raum.
Weiters seien

H : I x J \to Y

und

h : I \to Y

Funktionen, sodass für alle

j \in J

die Funktion

H_{j} : I \to Y, i \mapsto H (i, j)

beschränkt ist, und sodass

h (i) = lim_{j \in J} H (i, j)

gleichmäßig auf I ist, bzw. äquivalent dazu

h = lim_{j \in J} H_{j}

"in"

< B (I, Y), d_{\infty} >

.
Schließlich existiere für alle

j \in J

der Limes

A_{j} := lim_{i \in I} H (i, j)

. Unter diesen Voraussetzungen ist sowohl

{(A_{j})}_{j \in J}

als auch

{(h (i))}_{i \in I} \in Y

konvergent, wobei

lim_{j \in J} A_{J} = lim_{i \in I} h (i),

also gilt

lim_{j \in J} lim_{i \in I} H (i, j) = lim_{i \in I} lim_{j \in J}

H(i,j)."

Meine Ideen dazu:

A ist abgeschlossen

\Leftrightarrow

jeder Häufungspunk von A ist schon in A enthalten.
Die Häufungspunkte einer Folge sind die Punkte wogegen die Folge konvergiert. Bei

c_{0}

wäre es also nur 0. 0 ist eine komplexe Nullfolge und liegt also in

c_{0}

drinnen.

Irgendwo sollen aber noch die Grenzwertvertauschungen aus Lenna

8.7.1

hineinkommen!

Und zur 2. Teilaufgabe:

Abschluss von A=die Menge aller Häufungspunkte von A und Punkte, die

\in A

sind.

Hier komme ich wirklich nicht weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Mathe076 aktiv_icon

19:38 Uhr, 19.04.2015

...

PhantomV aktiv_icon

19:49 Uhr, 19.04.2015

Hi.

Zuerst ist zu zeigen das

c_{0}

ein Unterraum ist, richtige Idee.
Punkt 2. passt, Punkt 1. weniger. Es ist ja nicht zu zeigen dass

c_{0} \neq 0

wobei 0 als Nullvektorraum zu interpretieren ist, sondern

c_{0} \neq \emptyset

. Dies ist
aber natürlich der Fall, da die Folge

{(0)}_{n \in N} \in c_{0}

.

Nächste Sache: Häufungspunkte sind nicht die Punkte gegen die die Folge konvergiert!
Betrachte

{(- 1)}^{n}, n \in N,

dann sind die HP

- 1

und 1 aber die Folge konvergiert nicht einmal.

Wenn du das Lemma anwenden willst musst du dies für deinen konkreten Fall tun,

d . h

. du musst überlegen was bei dir I und

J

sein könnten und ob alle Voraussetzungen erfüllt sind.

Beachte das die Elemente von deinem Raum Folgen sind. Wenn

c_{0}

abgeschlossen ist muss
jede Folge aus

c_{0}

die konv. wieder ihren Grenzwert in

c_{0}

haben. Du musst also mit Folgen von Folgen arbeiten und der Grenzwert ist keine Zahl, sondern eine Folge. Die Abstände zwischen zwei Folgen wird mit der Supremumsnorm gemessen.

Ein Beispiel: Betrachte die Folgen

a_{n} = (\frac{{(- 1)}^{n}}{n})

und

b_{n} = (\frac{1}{n})

. Beides sind komplexe (sogar reelle)
Nullfolgen liegen also in

c_{0}

. Was ist der Abstand zwischen beiden? Dies ist:
supremum

(| a_{n} - b_{n} | = | \frac{{(- 1)}^{n} - 1}{n} | | n \in N),

also

...

?

Beim zweiten Teil der Aufgabe, Abschluss von

F

finden, kannst du dir mal überlegen
was dir da die erste Aufgabe nutzt. Also wie der Abschluss von

F

mit

c_{0}

zusammmenhängt.

Viel Erfolg und Grüße
PhantomV

Mathe076 aktiv_icon

13:06 Uhr, 20.04.2015

Danke!

Also:

c_{0}

abgeschlossen=für jede konvergente Folge von

c_{0}

liegt der Grenzwert in

c_{0}

x' := {(x_{n})}_{n \in N}

mit

lim_{n \in N} x_{n} = 0

{(x'_{j})}_{j \in N} \in c_{0} {(N, C)}^{N}

\exists x' \in l^{\infty} : lim_{j \in N} x'_{j} = x'

Damit dieses

x \in c_{0}

liegt, muss es eine Nullfolge sein.

lim_{n \in N} lim {j \in N} {(x_{n})}_{j} = lim_{j \in N} lim_{n \in N} {(x_{n})}_{j} = 0

Der Limes darf man nach dem Lemma vertauschen, weil

x_{n}

kovergent (per Definition) und beschränkt ist...und dann muss ich noch zeigen, dass

x_{n}

gleichmäßig konvergent ist. Wie mache ich das am Besten? Mit der Supremumsnorm?

Und wie komme ich genau zu den Häufungspunkten?

Mathe076 aktiv_icon

17:14 Uhr, 20.04.2015

PhantomV? (oder wer auch immer antworten kann?)

Mathe076 aktiv_icon

19:36 Uhr, 20.04.2015

Den limes kann man vertauschen, weil die Funktion gleichmäßig konvergent ist. Wenn man zeigen kann, dass

lim \supset

xn-x kleiner als

ε

ist. Da xn eine Nullfolge ist, lässt sich immer so ein

ε

finden.

Für die Häufungspunkte:

Jede Folge

z_{n}

aus

c_{0} (N, C)

ist ein Häufungspunkt, da für beliebiges

ε > 0

die Folge

(z_{n} + \frac{ε}{2 n}

existiert und

d_{\infty} (z_{n}, z_{n} + \frac{ε}{2 n}) = {| | z_{n} + \frac{ε}{2} n - z_{n} | |}_{\infty} = \frac{ε}{2} < ε,

also gibt es für jedes

ε > 0

eine weitere Folge aus

c_{0} (N, C),

sodass der Abstand kleiner als

ε

wird.

F = {{(z_{n})}_{n \in N} \in l^{\infty} (N, C) : \exists N \in N, z_{n} = 0, \forall n \geq N}

Dann ist

c (F) = c_{0} (N, C),

da jede Nullfolge ein HP von

F

ist.
Falls

{(z_{n})}_{n \in N} \in c_{0} (N, C),

so gilt

\forall ε > 0 \exists n \in N : | z_{n} | < ε \forall n \geq N

Wählt man eine Folge

l_{n}

aus

F

so, dass

l_{n} = z_{n},

falls

n < N

und

l_{n} = 0,

falls

n \geq N,

dann ist

d_{\infty} (z_{n}, l_{n}) < ε

.

Das gilt für jede Nullfolge

z_{n}

.

Nach dem gleichen Argument wie oben kann keine andere Folge aus

l^{\infty} (N, C)

HP von

F

sein.

Kann mir irgendwer ein Feedback dazu geben?

Mathe076 aktiv_icon

00:14 Uhr, 21.04.2015

Eine Antwort wäre super...oder ist es einfach komplett falsch?

PhantomV aktiv_icon

00:27 Uhr, 21.04.2015

Du musst deine Sachen unbedingt sauberer aufschreiben, sonst macht sich keiner die Mühe das
zu lesen. In deinem ersten Beitrag (nach meinem) muss es

z . B

x'

heißen und nicht

x

.
Die Idee mit dem Vertauschen ist gut, muss aber besser begründet werden (und ja hier musst du auch
mit der Supremumsnorm arbeiten). Es müssen wirklich alle Voraussetzungen geprüft werden.

Zu deinem zweiten Beitrag: Dort sollst du ja den Abschluss von etwas berechnen.
Warum soll

z . B

. "Dann ist

c (F) = c 0 (N, C),

da jede Nullfolge ein HP von

F

ist" gelten?
Weiterhin ist "Falls (zn)n∈N ∈c0(N,C), so gilt ∀ε>0∃n∈N:|zn|<ε∀n≥N" falsch,
da

z_{n}

einzelne Folgen sind und nicht definiert ist was

| z_{n} |

ist für eine Folge.

Also das ganze nochmal sauber aufschreiben und aufpassen ob man mit Folgen von Folgen
arbeitet oder einfach nur mit Folgen.

Gruß PhantomV

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