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Banachscher Fixpunktsatz

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Fixpunkt, Fixpunktiteration, Funktion, Integration

agricola7 aktiv_icon

23:28 Uhr, 01.02.2019

Hallo alle miteinander,

der Banachsche Fixpunktsatz beschreibt ja, dass Kontraktion bezüglich eines Fixpunktes

x

vorhanden ist, wenn es einen Argument a gibt für die

x_{a}

gegen

x

konvergiert.

Dafür gilt ja die Formel:

| T (x_{1}) - T (x_{2}) | \leq λ \cdot | x_{1} - x_{2} |, λ < 1

und

λ = T' (a)

Bedeutet das nun, dass für alle a für die

T' (a) = λ < 1

gilt, Konvergenz bezüglich des Fixpunktes

x

besteht und folglich für alle

T' (a) = λ > 1

Divergenz bezüglich

- \infty

bzw

\infty

besteht?

Falls meine Vermutung vollkommener Schwachsinn ist bitte ich um Berichtigung.

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

godzilla12 aktiv_icon

01:01 Uhr, 02.02.2019

Siehe Wiki; dein

T

ist ganz offensichtlich das, was Wiki

φ

nennt. Aber was meinst du bloß mit

T'

?

Allererst musst du beweisen, dass auch

Bild

(M) \subseteq M (1)

Das wird oft übersehen; sonst könntest du deinen metrischen Raum ja auf den Mond abbilden oder den Andromedanebel.
Deine Vermutung bzgl.

λ > 1

halte ich erst mal für Problematisch. Stell dir vor,

M

ist kompakt . Da ja

(1)

gelten soll; gibt es dann überhaupt immer eine Iteration mit ( beliebig großem

) λ

godzilla12 aktiv_icon

01:05 Uhr, 02.02.2019

dumm gelaufen; Trick

17

mit Selbstüberlistung. Ich habe mir eben meinen Text kaputt geschrieben - deine Formulierungen sind sehr unglücklich.
Die Kontraktion ist DEFINIERT durch die Eigenschaft

λ < 1

.
Dann sagt drr Fixpunktsatz aus, dass genau ein Fixpunktg ewxistiert.

agricola7 aktiv_icon

02:36 Uhr, 02.02.2019

Tut mir leid für meine unklare Formulierung. Ich habe nicht erwähnt, dass es sich um den metrischen Raum

ℝ

handelt.

Meine Frage läuft darauf hinaus, dass ich

z . B

. eine Funktion

T (x) = - x^{2} + 5 \cdot x - 3

gegeben habe, wobei für beliebiges

a \in ℝ

die Folge

x_{a} := {(x_{n})}_{n \in ℕ}

durch

x_{0} := a

und

x_{n + 1} := T (x_{n})

für alle

n \in ℕ

definiert sei.

Mein Ziel ist es nun:

1)

herzufinden ob es ein

a \in ℝ

gibt (der nicht Fixpunkt von

T

ist) und für den

x_{a}

gegen eine reelle Zahl

x

konvergiert.

2)

herauszufinden ob es einen Wert

a \in ℝ

für

x_{n}

gegen

\infty

bzw.-

\infty

gibt

agricola7 aktiv_icon

02:44 Uhr, 02.02.2019

Pardon! ich meine selbstverständlich:

\cdot 2)

herauszufinden ob es ein

a \in ℝ

gibt für die

x_{a}

gegen

\infty

bzw.

- \infty

divergiert.

godzilla12 aktiv_icon

15:26 Uhr, 02.02.2019

Du siehst gar nicht, wie ungeheuer vertrackt dass die Situation hinter dem Fixpunktsatz ist. Du tust praktisch schon den zweiten Schritt vor dem ersten; hier trifft die Schuld aber eindeutig die Profs und die Skripten, die euch darauf aufmerksam machen müssten. ( Mein hoch verehelichter " Lothar " in der Funktionentheorie hat dies auch stets getan. )
Auf diesem Forum sollte mal als Konsequenz aus dem MWS bewiesen werden: Wenn auf dem Intervall

M

(\forall x

€

M \to | f' (x) | < 1) \to λ < 1 (2.1)

Für deine Funktion wäre das der Fall auf dem Intervall

M = (2; 3)

Was sich hier ergibt, ist ein Problem, mit dem nachweislich nicht mal alle Profs klar kommen geschweige Studienräte; auf dem fossilen Portal " Lycos " war ein LEHRer, der war unbeLEHRbar

. .

.
Ich meine den Unterschied zwischen Wertevorrat ( bzw. Zielmenge ) einer Funktion bzw. ihrem Bild. Wiki hat gut Reden, wenn die sagen, gegeben sei eine Abbildung

T

auf einem metrischen Raum

M

T : M \to M (2.2 a)

Du hast etwas völlig anderes:

T : ℝ ≺ ℝ (2.2 b)

Hier ist nämlich das klein Gedruckte zu beachten; als Erstes hast du sicher zu stellen, dass

T (M) =

Bild

(M) \subseteq M (2.2 c)

wie sieht es damit aus? Deine Formel voraus gesetzt

T (2) = 3; {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})}_{max} = (\begin{matrix} \frac{5}{2} \\ \frac{13}{4} \end{matrix}); T (3) = 3 \to x_{2} = 3

ist Fixpunkt

(2.3)

Du siehst: Keiner der beiden Fixpunkte ( Der zweite wäre

x_{1} = 1)

liegt in

M

.
What issere loose? Wie ein Blick auf

(2.3)

lehrt, liegen SÄMTLLICHE Bildpunkte von

M

außerhalb

M;

der Fixpunktsatz und damit

(2.1)

sind GAR NICHT ANWENDBAR .
Streng genommen war ja laut Wiki ein abgeschlossenes Intervall Voraussetzung - sei

' s

drum.
Finden wir möglicher Weise ein abgeschlossenes

M_{1} \subset M,

so dass wie gefordert

T (M_{1}) =

Bild

(M_{1}) \subseteq M_{1} (2.4)

Aus

(2.4)

würde in Verbindung mit

(2.1)

ja folgen, dass die Gleichung

- x

+ 5 x - 3 = x (2.5)

auf jedem noch so kleinen

(!!!)

Intervall eine Lösung hat, was sicher Mumpitz ist.
In Umkehrung des Fixpunktsatzes lässt sich sagen: Ein

M_{1}

mit der in

(2.4)

geforderten eigenschaft kann es nicht geben.
Du hattest mich eigens gebeten, dicj auf deine Denkfehler aufmerksam zu machen.

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