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Banachscher Fixpunktsatz

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

anonymous

11:54 Uhr, 23.07.2021

Betrachtet wird die Fixpunktaufgabe

x = Φ (x), x = {[x_{1}, x_{2}]}^{T}

auf I

= [0,1] x [- 1,1],

wobei

Φ (x) = \frac{1}{6} [\begin{matrix} x_{1} \cdot e^{- x_{2}^{2}} + x 1_{x} 2 + 3 \\ log (1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) - 1 \end{matrix}]

a)

Weisen Sie die Voraussetzungen des Banach'schen Fixpunktsatzes mit Kontraktionsfaktor

q = \frac{5}{6}

bezüglich der Maximumsnorm nach.

Okay - als Voraussetzungen für die Anwendung des Banach'schen Fixpunktsatzes haben wir:

- Das Intervall muss abgeschlossen sein

- Φ (x)

muss Kontraktion sein

\Rightarrow | | Φ (x) - Φ (y) | | \leq λ | | x - y | |

\to

Hier würde ich das äquivalente Kriterium anwenden:

{| | Φ' (x) | |}_{\infty} < 1

und dazu schaue ich mir den größtmöglichen Wert im Betrag an, welcher

< 1

sein muss

- Φ (x)

muss selbstabbildend sein

Okay:

Das Intervall I ist offensichtlich abgeschlossen, das erste Kriterium ist erfüllt.

Jetzt habe ich hier aber eine Funktion mit einem Vektor, die mir die Aufgabe etwas erschwert.

Um zu schauen, ob die Funktion selbstabbildend ist, würde ich erstmal die Ränder und dann die Extrema betrachten.
Als Ränder hätten wir

- 1

und 1.
Ich würde also erstmal

- 1

und 1 einsetzen. Allerdings weiß ich nicht, wie genau

(x_{1} = 1

und

x_{2} = - 1

x_{1} = - 1

und

x_{2} =

1?).

Dann würde ich die Ableitung bilden, um Extrema zu überprüfen. Muss ich hier die Vektoreinträge einzeln ableiten?

Wäre über jede Hilfe bzgl der Selbstabbildung und Kontraktion dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

12:51 Uhr, 23.07.2021

Hallo,

die Berechnung der Extrema scheint mir etwas aufwändig. Ich würde erst einmal versuchen, durch Abschätzung zu zeigen, dass für

(x_{1}, x_{2}) \in I

gilt:

0 \leq Φ_{1} (x_{1}, x_{2}) \leq 1

- 1 \leq Φ_{2} (x_{1}, x_{2}) \leq 1

Gruß pwm

anonymous

10:51 Uhr, 24.07.2021

Okay, wir zeigen also, dass

Φ

einmal im Intervall 0 und 1 liegt, und wir zeigen einmal, dass

Φ

im Intervall

- 11

liegt

Dazu einfach mal die Ränder einsetzen? Was ich mich halt frage ist, wie ich auf eine konkrete Zahl am Ende komme, da ich ja einen Vektor habe

pwmeyer aktiv_icon

13:20 Uhr, 24.07.2021

"Okay, wir zeigen also, dass Φ einmal im Intervall 0 und 1 liegt, und wir zeigen einmal, dass Φ im Intervall −11 liegt"

Denkst Du eigentlich über das nach, was Du schreibst?

anonymous

13:41 Uhr, 24.07.2021

Naja. Wie kann ich denn deine Abschätzung zeigen?

ledum aktiv_icon

15:39 Uhr, 24.07.2021

Naja, pw schrieb da ja Vektorkomponenten hin? ist dir das aufgefallen?
ledum

anonymous

16:38 Uhr, 24.07.2021

Das verstehe ich schon; Allerdings nicht, wie ich hier rechnen kann. Mir fehlt einfach der erste Schritt, thats it

pwmeyer aktiv_icon

17:27 Uhr, 24.07.2021

Hallo,

Φ_{1} (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{6} \cdot (x_{1} \cdot e x p (- x_{2}^{2}) + x_{1} \cdot x_{2} + 3) \leq \frac{1}{6} \cdot (1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 3) = \frac{5}{6} \leq 1

zum Beispiel

Gruß pwm

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