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Banach´scher Fixpunktsatz

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Banachscher_Fixpunktsatz

8mileproof aktiv_icon

13:25 Uhr, 29.01.2012

hallo, ich hab diese aufgabe hier :

Zeigen sie das die gleichung

x = e^{- x}

genau eine lösung in

[(\frac{1}{10}),1]

besitzt. und berechnen sie eine näherung für diese, indem sie ausgehend von

x_{0} = \frac{1}{2}

drei schritte der iteration

x_{n + 1} = e^{x_{n}}

durchführen.

zu dem ersten teil der aufgabe:

ich hab die aufgabe mit dem banach´schen fixpunktsatz versucht zu lösen. die fixpunktgleichung ist ja vorgegeben:

allg. fixpunktgleichung:

f (x) = x

also in meinem fall

: e^{- x} = x

.
das ganze muss ich ja nach

x

auflösen. also hab ich auf beiden seiten mit

ln ()

multipliziert:

e^{- x} = x \Leftrightarrow - x = ln (x) \Leftrightarrow x = - ln (x)

hab ich jetzt gezeigt, dass sie genau eine lösung besitzt? ich hab bis jetzt in beispielaufgaben immer nur fälle 2 gesehen.

1.

f

hat keinen fixpunkt, falls die lösung

x \notin M,

also in meinem fall wären das

: x \notin [(\frac{1}{10}),1]

f

hat unendlich viele fixpunkte, falls die bei der umformung am ende

x = x

entsteht.

und der 3. fall taucht dann wahrscheinlich bei dieser aufgabe auf.

kann mir jmd. bei dieser und mit der 2. hälfte der aufgabe (also der teil wo ne iteration steht usw.) helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

dapso aktiv_icon

13:41 Uhr, 29.01.2012

Die Funktion

f : [\frac{1}{10}, 1] \overset{}{\to} [\frac{1}{10}, 1]

mit

f (x) = e^{- x}

hat genau dann einen Fixpunkt in dem Intervall, wenn gilt:

∣ e^{- x} - e^{- y} ∣ \leq L ∣ x - y ∣

wobei

L \in (0, 1)

und

x, y \in [0.1, 1]

gilt. Versuch das zu zeigen und dann hast du es.

8mileproof aktiv_icon

14:38 Uhr, 29.01.2012

achso ich muss also nur die fixpunktkonstante

L

bestimmen. dafür muss ich doch nur die funktion ableiten und für

L

einsetzen, oder?

dapso aktiv_icon

14:41 Uhr, 29.01.2012

Im Prinzip ja. Allerdings ist

L

ein Konstante und keine Funtkion.

8mileproof aktiv_icon

18:23 Uhr, 29.01.2012

okay, ich hab da jetzt folgendes stehen:

| e^{- x} - e^{- y} | \leq - e^{- x} | x - y |

L

ist

\notin (0,1),

denn wenn ich für

x = 1 \in - e^{- x}

einsetze, kriege ich eine neg. zahl raus. und somit hat doch die funktion keinen fixpunkt, oder?

dapso aktiv_icon

18:46 Uhr, 29.01.2012

Du musst dir das Supremum vom Betrag der Ableitung anschauen.

8mileproof aktiv_icon

19:04 Uhr, 29.01.2012

also die ableitung wäre doch

- e^{- x}

. in betragstrichen müsste das neg. zeichen weg

: | e^{- x} |

und für das supremum müsste ich doch für

x

eine 1 einsetzen. nicht wahr?

also hätte ich

| e^{- 1} | = 1,718 ...

. und das ist doch wieder nicht in

(0,1)

hagman aktiv_icon

19:14 Uhr, 29.01.2012

Ganz von vorne:

f : x \mapsto e^{- x}

bildet

[\frac{1}{10}, 1]

nach

[\frac{1}{10}, 1]

ab, denn

f

ist monoton fallend und

f (\frac{1}{10}) = e^{- \frac{1}{10}} < e^{0} = 1

und

f (1) = e^{- 1} = \frac{1}{e} > \frac{1}{3} > \frac{1}{10}

. Also

f (x) \in [\frac{1}{10}, 1]

für alle

x \in [\frac{1}{10}, 1]

.

Gesucht ist jetzt ein möglichst kleines

L

mit

| f (x) - f (y) | \leq L \cdot | x - y |

für alle

x, y \in [\frac{1}{10}, 1]

.
Die Differenzierbarkeit von

f

ist hier hilfreich, denn es ist ja

f (x) - f (y) = f' (ξ) \cdot (x - y)

für ein zwischen

x

und

y

(also erst recht zwischen

\frac{1}{10}

und

1)

liegendes

ξ

.
Mit Beträgen:

| f (x) - f (y) | = | f' (ξ) | \cdot | x - y |

.
Hierbei ist

| f' (ξ) | = | - e^{- ξ} | = e^{- ξ} \leq e^{- \frac{1}{10}}

(wiederum wegen des monotonen Fallens von

x \mapsto e^{- x})

. Es ist also zulässig

L := e^{- \frac{1}{10}}

zu wählen. Freundlicherwise ist

L < 1,

also

f

tatsächlich eine Kontraktion.

8mileproof aktiv_icon

20:06 Uhr, 29.01.2012

achso, ich dachte dass ich für das supremum den größten wert aus dem intervall

[(\frac{1}{10}),1]

nehmen muss und das wäre ja 1. deshalb habe ich die 1 für das

x

von

e^{- x}

eingesetzt. muss ich das immer so wählen, dass meine fixpunktkonstante etwa immer

< 1

ist?

hagman aktiv_icon

16:46 Uhr, 30.01.2012

Das

L

muss so gewählt werden, dass für alle

x \in [\frac{1}{10}, 1]

die Abschätzung

| f' (x) | \leq L

gilt. Daher bietet sich

L = s u p {| f' (x) | : \frac{1}{10} \leq x \leq 1}

an, aber das Supremum ist halt

e^{- \frac{1}{10}}

8mileproof aktiv_icon

17:49 Uhr, 30.01.2012

okay, vielen dank. noch eine weitere wissenslücke weniger....;-)

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