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Banachscher Fixpunktsatz, Gleichungssys. eine Lös.

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Banachscher_Fixpunktsatz, Fixpunktiteration, Fixpunktsatz, Funktionalanalysis, iteration, Iterationsverfahren

einspluszwei aktiv_icon

16:40 Uhr, 11.10.2018

Hallo,

folgende Aufgabenstellung liegt zugrunde:

Zeige, daß das Gleichungssystem

\frac{1}{8} (1

−

x) y

−

\frac{1}{4} y^{2}

−

x =

−

\frac{7}{8}

(\frac{1}{8} (1

−

x)^{2}

−

1) y + \frac{1}{4} x y = 0

auf der Menge

M = [1, 3]

[- 1, 1]

genau eine Lösung besitzt, mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes.
Von

(x, y) = (1, 0)

startend, wieviele Iterationen sind notwendig, um sicher zu sein, dass sich die Koordinaten der approximativen und tatsächlichen Lösung um weniger als

10^{- 6}

unterscheiden.
Berechne die Approximation nach 2 Iterationschritten.
Hinweis: Verwenden der Maximumsnorm kann die Rechnungen vereinfachen.

Mein Problem ist nun folgendes: Bei der Iteration kommt bei jedem Schritt der selbe Iterationspunkt heraus. Demnach ist eine Approximation nicht möglich.

Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen, Rechnung ist in den Bildern zu sehen.

Danke und viele Grüße
einspluszwei

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

07:39 Uhr, 12.10.2018

Hallo,

(\frac{7}{8},0)

ist eine Lösung des Systems, soweit ok. Aber in der Aufgabe war für die erste Komponenten

[1,3]

verlangt,

\frac{7}{8}

liegt aber nicht in diesem Intervall.

Dein Nachweis, dass

Φ

die Menge

M -

wie Du sie verwendet hast

-

in sich abbildet, ist falsch. Du berücksichtigst dabei weder die Beträge noch die Vorzeichen der Terme. Wenn Du daran nochmal arbeiten willst, solltest Du Deine Rechnung hier in kleinen Schritten reinschreiben.

Schließlich frage ich mich, ob Ihr nicht besprochen habt, wie man den Nachweis der Kontraktion mit Hilfe der Differentialrechnung vereinfachen kann.

Gruß pwm

einspluszwei aktiv_icon

21:56 Uhr, 13.10.2018

Hallo,

was nützt mir nun die gefundene Lösung wenn sie nicht im Intervall

[1,3]

liegt?

Habe nun den Nachweis, dass

φ

die Menge

M

in sich abbildet nochmals versucht:

| φ_{1} (x, y) | = | \frac{1}{8} (1 - x) y - \frac{1}{4} y^{2} + \frac{7}{8} | \leq | \frac{1}{16} + \frac{7}{8} | = \frac{15}{16}

| φ_{1} (x, y) | = | \frac{1}{8} (1 - x) y - \frac{1}{4} y^{2} + \frac{7}{8} | \geq | - \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + \frac{7}{8} | = \frac{9}{16}

\Rightarrow φ_{1} (x, y) \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]

| φ_{2} (x, y) | = | \frac{1}{8} y {(1 - x)}^{2} + \frac{1}{4} x y | = | \frac{1}{8} y (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{1}{4} x y | = | \frac{1}{8} x^{2} y - \frac{1}{4} x y + \frac{1}{4} x y + \frac{1}{8} y |

= | y | | \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{8} | \leq 1 \cdot | \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{4} + \frac{1}{8} | = \frac{13}{32}

| φ_{2} (x, y) | = | \frac{1}{8} y {(1 - x)}^{2} + \frac{1}{4} x y | = | y | | \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{8} | \geq 0 \cdot | \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{8} | = 0

\Rightarrow φ_{2} (x, y) \in [- 1, 1]

Damit

φ (M) \subseteq M

.

Die von dir angesprochene Vereinfachung haben wir meines Wissens in der Vorlesung noch nicht behandelt.

Gruß
einspluszwei

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