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Baryzentrische Koordinaten - parameter berechnen

Schüler Berufsoberschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Baryzentrische Koordinaten, Parameterdarstellung

EyecyMath aktiv_icon

12:59 Uhr, 04.02.2014

Hallo.

Im Folgenden sind Großbuchstaben Vektoren (x,y) und Kleinbuchstaben einfache Parameter.

Auhc vorab da es hilfreich sein könnte ich benutze das Hobbymäßig bei der Programmierung, ich suche also eine allgemeine Formel für die Parameter.

Ich kenne baryzentrische Koordinaten in dieser Darstellung (Parameterdarstellung?).
A + r*(B-A) + s*(C-A)
Mann geht also von einem Ursprungspunkt aus und verschiebt diesen in zwei Richtungen.
Online konnte ich aber nur Informationen zu dieser Darstellung finden:
u*A + v*B + w*C

Für meien Zwecke benötige ich aber zwingend die obere Version, also 2-Parameter. Mein Ziel ist die Parameter aus einem Punkt im Dreiek zu berechnen, das habe ich auch gefunden
(hier: lgdv.cs.fau.de/get/1434) Nur leider in der 3-Parameter Darstellung.

Sprich:
A + r*(B-A) + s*(C-A) = D
Ich habe D (sowie A,B und C); was ist r und s?

Ich wette mein Schul-Taschenrechner hätte das solven können, der feht mir schon ab und zu :-)

Vielen Dank schonmal und fragt nach wenn etwas zu unklar sein sollte. Das Bild sollte aber hilfreich sein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

EyecyMath aktiv_icon

17:00 Uhr, 04.02.2014

Ich möchte mal meine eigene Lösung präsentieren welche prima funktioniert und ich mir auch anfangs gedacht habe. Nur weiß ich nciht ob das zu aufwändig ist.

Siehe Bild.
Es gibt ja zwei Richtungsvektoren, vR und vS. Ich habe dann einen Schnittpunkt mit der einen Kante (AB) und dem Punkt D gesucht und dabei den Richtungsveltor (vS) benutzt.
Der Schnittpunkt (S) bringt mir den parameter r, indem ich die Länge (AS) durch die Länge (AB) teile. Da mein gesuchter Punkt stehts im Dreieck Liegt kommt hier ein Wert zwischen 0 und 1 heraus.
Um s zu berechnen kann ich dasselbe machen, nur muss ich die länge(SD) durch die Länge (AC) teilen.

Ich frage mich, ob jemand eine bessere und effizientere Methode kennt.
Um den Schnittpunkt zu berechnen habe ihc mich bei Wikipedia bedient:

Femat aktiv_icon

17:54 Uhr, 04.02.2014

Bravo
Du hast soeben die Parameterdarstellung einer Ebenengleichung nacherfunden.

Werner-Salomon aktiv_icon

21:29 Uhr, 04.02.2014

Hallo,

zunächst zum Thema: 'Parameterdarstellung' und Darstellung mit drei Parametern. Nimm Deine Gleichung

A + r \cdot (B - A) + s \cdot (C - A)

jetzt addiere ich

t \cdot (A - A)

- damit ändere ich nichts, da dies der Nullvektor ist - also:

= A + r \cdot (B - A) + s \cdot (C - A) + t \cdot (A - A)

nach Ausklammern und neu sortieren erhält man

= A + r \cdot B + s \cdot C + t \cdot A - (r + s + t) \cdot A

Mit der zusätzliche Bedingung, dass

r + s + t = 1

ist, fällt das

A

raus

= r \cdot B + s \cdot C + t \cdot A

und wie von Zauberhand erhält man die Darstellung mit drei Parametern. Und nicht nur das; die beiden Parameter

r

und

s

sind mit den (richtigen) beiden aus der Darstellung mit drei Parametern identisch.
Bem.: die Parameter

u

v

und

w

in Deiner ersten Skizze entsprechen nicht den baryzentrischen Koordinaten!

Wenn Du also einen Algorithmus hast, der Dir aus einem gegebenen Punkt

D

die drei Parameter berechnet, so sind die beiden gesuchten mit dabei.

Wobei das mit zwei Parametern auch kein Problem ist - es sei

A + r \cdot (B - A) + s \cdot (C - A) = D

A

B

C

und

D

sind gegeben,

r

und

s

sind gesucht.
daraus folgt:

(B - A; C - A) \cdot (\begin{array}{rcl} r \\ s \end{array}) = (D - A)

.. und das ist ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten.
Die Lösung ist:

(\begin{array}{rcl} r \\ s \end{array}) = (\begin{array}{rcl} (D - A) \times (C - A) \\ (B - A) \times (D - A) \end{array}) \cdot \frac{1}{(B - A) \times (C - A)}

wobei ein Ausdruck

P \times Q

mit

P = (\begin{array}{rcl} p_{x} \\ p_{y} \end{array})

und

Q = (\begin{array}{rcl} q_{x} \\ q_{y} \end{array})

P \times Q = p_{x} \cdot q_{y} - p_{y} \cdot q_{x}

ist. Wenn Du das programmierst, lohnt es sich, dafür eine kleine Funktion zu schreiben.

Gruß
Werner

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