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Basen bestimmen bezüglich Abbildungsmatrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: kanonische Basis, Linear Abbildung, Matrizenrechnung

alcanmage aktiv_icon

18:47 Uhr, 31.01.2017

Hallo :-)
Ich stehe vor folgender Aufgabe:
Sei

f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}

die

ℝ

-lineare Abbildung definiert durch

f (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{c} x + y + z \\ x + 2 z \\ x + 2 y \end{array})

Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix zu

f

bezüglich der kanonischen Basis von

ℝ^{3}

und bestimmen Sie Basen

B, B ´

von

ℝ^{3}

, sodass gilt

M_{B ´}^{B}, (f) = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

.

Hinweis: Die Basen

B . B ´

sind nicht eindeutig bestimmt.

So nun habe ich erstmal die Abbildungsmatrix erstellt:

M = (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array})

In der Regel hat man ja zwei Basen gegeben und soll dann eine Abbildungsmatrix bezüglich der Basen bestimmen. Hier ist es nun umgekehrt und da weiß ich nicht so recht weiter.

Danke für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

19:11 Uhr, 31.01.2017

Hallo,

seien die Basen

b_{1}, b_{2}, b_{3}

undd_1,c_2,c_3 (statt

b_{1}' ...)

. Dann besagt doch die gewümschte Abbildungsmatrix:

f (b_{1}) = c_{1}, f (b_{2}) = c_{2}, f (b_{3}) = 0

Also muss

b_{3}

aus dem Kern von

f

sein,

b_{1}

und

b_{2}

müssen dann zwei linear unabhängige Elemente sein, die mit

b_{3}

eine Basis bilden.

b_{3}

kann man berechnen, geeignete

b_{1}

und

b_{2}

(sind ja nicht eindeutig) lassen sich leicht raten, wenn man mal auf

M

schaut.

Gruß pwm

alcanmage aktiv_icon

17:12 Uhr, 01.02.2017

Bedeutet also ich muss erstmal den Kern von

f

ermitteln?
Geht das denn so ohne weiteres? Das Gleichungssystem hat ja keine eindeutige Lösung :o

ledum aktiv_icon

20:10 Uhr, 01.02.2017

Hallo
das ist immer so mit

v

in Kern auch

r \cdot v

im Kern
Gruß ledum

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