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Basen von Kern und Bild bestimmen

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Relation.

Bright35 aktiv_icon

21:35 Uhr, 04.09.2021

Hallo zusammen,

kann mir vielleicht jemand bei der folgenden Aufgabenstellung helfen (Siehe Bild im Anhang). Ich weiß, dass man bei dem Kern zwar durch einsetzen der x-Werte auf der rechten Seite immer 0 bekommen will usw. dann hätte man

x 2 = - x 1

usw. und setzt es ein, aber ich wollte mal fragen, ob es eine Alternative gibt, wie man die Basis von dem Kern und dem Bild bestimmen kann?

Könnte mir hier vielleicht jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

22:28 Uhr, 04.09.2021

Hallo
noch einfacher als wie du beschriebst geht es wohl nicht. damit hast du doch direkt eine(nicht die Basis

(1, - 1,0,0)

und

(0,0,1,1)

was willst du noch schneller? entsprechen sieht man das Bild genauso schnell.
Gruß ledum

Kartoffelchipsman aktiv_icon

22:38 Uhr, 04.09.2021

M_{f =} (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \approx \approx > (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Ker

f =

span(

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})), dim

Ker

f = 2

.

Im f=span(

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})), dim

f = 2

Kartoffelchipsman aktiv_icon

22:46 Uhr, 04.09.2021

Zum Bild:

Das bekommt man hier, mit ein bisschen Auge, geschenkt.
Allgemein kann man dafür die Matrix transponieren
und in Zeilenstufenform bringen.
Die Zeilen, die nicht verschwinden, sind dann eine Basis des Bildes.

Bright35 aktiv_icon

00:18 Uhr, 05.09.2021

@Rock Tyler: Okay wie du die Matrix aufgestellt hast, habe ich verstanden und danach in Treppennormalform überführen, oder?

Aber wie kommst du dann auf diese 2 Vektoren für die Basis, als auch von dem Bild??

Würdest du mir das bitte etwas ausführlicher erklären? Vielen Dank im Voraus.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

00:51 Uhr, 05.09.2021

OK, hier Dein "Making of Bildbasis"

M_{f}

transponiert ist

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \end{matrix})

.

Zeilenstufenform draus machen:

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

.

Die nichtverschwindenden Zeilen als ein Tupel
von Spaltenvektoren hinschreiben und " span " davor.
Die Anzahl der Vektoren ist die Dimension des Bildes
und der Rang von

M_{f :}

f =

span(

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})), dim

f = 2

Kartoffelchipsman aktiv_icon

01:42 Uhr, 05.09.2021

Die zweite Matrix in meinem ersten Beitrag ( nach "

\approx \approx >

" )

dient der Kernbestimmung und hat mit dem Bild schon nix mehr zu tun

- doof notiert von mir, aber ich glaube, das hast Du auf dem Schirm...

Bright35 aktiv_icon

08:49 Uhr, 05.09.2021

Okay, vielen Dank schon mal.

Ich hätte nur noch mal ganz kurz eine Frage zur Sicherheit, ob ich es auch wirklich richtig verstanden habe. Also ich gehe mit der kanonischen Basis in die Funktion rein und erhalte eine Matrix. Diese überführe ich in Treppennormalform und davon die nichtverschwindenden Zeilen als Tupel sind die Basis vom Kern. Nun transportiere ich diese Matrix und wieder Treppennormalform und wieder die nichtverschwindenden Zeilen in Tupel sind die Basis vom Bild von der Funktion?

Wäre das so richtig?

Vielen Dank im Voraus.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

14:27 Uhr, 05.09.2021

Nein, wie kommst Du darauf, das, was ich über
das Bild gesagt habe, auch auf den Kern zu übertragen ?

Die Basis vom Kern kriegt man im Allgemeinen nicht so leicht
wie die vom Bild.

Bright35 aktiv_icon

15:01 Uhr, 05.09.2021

hmm und wie wäre dann hier das Schema?? Also wirklich immer das Ganze 0 setzen und schauen, mit welchen Werten (durch Ausprobieren bzw. per Auge) es 0 ergibt?

Aber für das Bild kann man immer die kanonische Basis in die Funktion einsetzen, oder? und erhält damit ein Erzeugendensystem und wenn die Vektoren davon linear unabhängig sind, hat man auch die Basis oder?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

15:14 Uhr, 05.09.2021

Hmmm...

Oder vielleicht einfach mal ein Standard-Lehrwerk

"Lineare Algebra 1",

z . B

. den heißen Schinken

vom Gerd Fischer oder das lockenperückige Teil

vom Physikerkollegen Klaus Jänich mit tollen

Multiple-Choice-Tests am Ende eines jeden Abschnitts

studieren ?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

18:35 Uhr, 05.09.2021

Da ich Dir nicht bloß hässlich vor den Kopf stoßen will,

hier noch ein wenig Erklärbär:

Die Matrix resultiert auf ganz natürliche bzw. kanonische Art

aus der Abbildung, die ja überhaupt ganz robust ist,

man sieht es an

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ x_{1} + x_{2} \\ - x_{3} + x_{4} \\ x_{3} - x_{4} \\ 0 \end{matrix})

.

Man muss hier also gar nicht weiter argumentieren.

Beim Kern wird nix "probiert", sondern der wird eiskalt berechnet.

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \approx \approx > (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

\approx \approx > x_{4}

beliebig,

x_{3} = x_{4}, x_{2}

beliebig,

x_{1} = - x_{2}

\approx \approx > dim

Ker

f = 2

und Ker

f = {λ_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + λ_{2} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) : λ_{1}, λ_{2} \in R}

= span

Θ,

wobei

Θ := ((\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}))

eine Basis des Kerns ist.

Bright35 aktiv_icon

19:09 Uhr, 08.09.2021

SUper, vielen Dank für deine Hilfe

:)

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