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Basis Ker(f-id) ?

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Linear Abbildung, Matrizenrechnung

Manuel42 aktiv_icon

06:59 Uhr, 24.06.2016

Hallihallo,

Ich habe da mal eine Frage bzgl. einer gestellten Aufgabe und zwar:

f

ist eine lineare Abbildung mit der Abbildungsvorschrift

f : R^{3} \to R^{3}

Die

E' s

stehen fuer die Einheitsvektoren und

M

sei eine Matrix

Also fuer

._{E} M {(f)}_{E}

(es steht sowohl auf derlinken, als auch auf der rechten Seite ein

E)

gilt

._{E} M {(f)}_{E} :

- 586

- 353

001

Dies soll eine

R^{3 x 3}

matrix darstellen (die formatierung ist mir fällt mir schwer..)

Nun, gefordert ist, eine Basis

B 0

des ker(f-id) zu finden und Basis

B 1

des ker(f+id)

Ich verstehe um ehrlich zu sein nicht, was ich unter ker(f-id) gemeint ist und vor Allem was(und wie) ich rechnen soll

: (

wäre für jeds Hilfe sehr dankbar!!

LG
Euer Manu

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

07:38 Uhr, 24.06.2016

Hallo,

Was die Begriffe meinen , kannst Du in Deinem Skript nachlesen.

Ich vermute mal, dass id für die Abbildung mit id(x)=x steht. Für eine lineare Abbildung

h

bedeutet ker(h) die Menge aller

x

mit

h (x) = 0

.

Also ist für ker(f-id) die Menge aller

x \in ℝ^{3}

zu bestimmen mit

f (x) - x = 0

. Das ist ein lineares Gleichungssystem.

Gruß pwm

Manuel42 aktiv_icon

13:02 Uhr, 24.06.2016

Danke für die Antwort, also es gilt dann id(x)=x (ist dies dann endomorph?)

Und die Frage ist ja die Basis von ker(f-id) zu bestimmen, dass der Kern auf 0 abbilden muss, weiß ich ja, aber ist mit ker(f-id) nicht gemeint, dass die Matrix, die ich gegeben habe, davon wird die Einheitsmatrix

E_{3}

abgezogen und dann bestimmte ich den Kern dieser neuen Matrix (also ich setze die Matrix gleich dem 0 Vektor) und bestimme danach die Basis?

Und zu den Rechenregeln:
Gilt denn folgendes: ker(f-id(x)) = ker(f)-kern(id(x))=ker(f)-x ?

LG Manu

Manuel42 aktiv_icon

16:38 Uhr, 24.06.2016

Also ich habe jetzt mal folgendes gerechnet

ker(f-id) hab ich nun so aufgefasst:

(- 5,8,6) - (1,0,0)

(- 3,5,3) - (0,1,0)

(0,0,1) - (0,0,1)

und das ist gleich

(- 6,8,6)

(- 3,4,3)

(0,0,0)

und davon soll man, wenn ich das richtig aufgefasst habe, den Kern berechnen, sprich:
(da II ein vielfaches von I ist, ist der Rang von

A = 1

und laut so nem Satz, Rang(A)+dim(ker(a))=#A
folgere ich, dass dim (ker(a))

= 2,

was wiederum heißt, dass 2 Basisvektoren existieren. so

LGS aufstellen:

- 3 x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3} = 0 \Leftrightarrow 3 x_{1} = 4 x_{2} + 3 x_{3}

da es eine Gleichung mehr mehr unbekannten variablen als Gleichungen gibt, ist existieren unendlich viele Lösungen und keine eindeutig bestimmte.

1.Fall:

x 1 = x 3 = 1

und

x 2 = 0

2.Fall:

x 1 = 4

und

x 2 = 3

und

x 3 = 0

\Rightarrow

Die Basis des ker(f-id)

\Rightarrow {(1,0,1) \cdot x_{1} + (4,3,0) \cdot x_{2} | x_{1}

und

x_{2}

element

R}

nun, jetzt stellt sich die Frage, ob mit ker(f-id) auch wirklich die oben genannte Matrix gemeint ist.
Wenn ja, ist meine Rechnung dann akkurat bzw mein Vorgehen?

LG Manu

Manuel42 aktiv_icon

17:41 Uhr, 24.06.2016

wenn man davon ausgeht, dass

{{(2,1,0)}^{T}, {(1,0,1)}^{T}, {(4,3,0)}^{T}}

sei Basis

B

und man sollte nun die darstellende Matrix

._{B} M_{B} (f)

angeben (bitte ohne Punkt lesen)

und

._{E} M_{E} (f)

(wobei

E

Standardbasis) =

(- 5,8,6)

(- 3,5,3)

(0,0,1)

muss man dann wie folgt vorgehen:

B := {{(2,1,0)}^{T}, {(1,0,1)}^{T}, {(4,3,0)}^{T}}

stelle nun

._{E} M_{E} (f)

mit

B

dar, für die erste Spalte würde man dann wie folgt rechnen, (also die n-ten Einträge der Spaltenvektoren miteinander kombiniert ergibt die den n-ten Eintrag der Matrix.)

I:

2 x + 0 y + 4 z = - 5 (=

erste Zeile in der ersten Spalte von

._{E} M_{E} (f))

II:

x + 0 y + 3 z = - 3 (=

zweite Zeile in der ersten Spalte von

._{E} M_{E} (f))

III:

0 + y + 0 = 0

aus III

\Rightarrow y = 0

- 2 \cdot

= - 2 z = 1

\Rightarrow z = - \frac{1}{2}

z \in I \Rightarrow 2 x - 2 = - 5 | + 2

\Rightarrow x = - \frac{3}{2}

und dann folgt daraus für

._{B} M_{B} (f)

für die erste Spalte

{(- \frac{3}{2}),0, (- \frac{1}{2})}

in transponierter Form natürlich

stimmt das so für die erste Spalte von

._{B} M_{B} (f)

pwmeyer aktiv_icon

09:28 Uhr, 25.06.2016

Hallo,

Deine Berechnung für Kern(f-id) scheint mir richtig.

"Gilt denn folgendes: ker(f-id(x)) = ker(f)-kern(id(x))=ker(f)-x ?"
Da ist jedes der beiden Gleichheitszeichen falsch.

Die Berechnung für die Matrix bezüglich

B

scheint mir falsch - die "rechte Seite des Gleichungssystems müsste

f (b_{1}

)sein. Am besten schreibst Du mal die Definition diese Matrix hierhin..

Gruß pwm

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