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Basis: Kern und Bild -- Abbildung von R4 auf R3

Universität / Fachhochschule

Tags: Abbildung M →N, basis, Bild, Kern, Kern-Matrix

ibo999 aktiv_icon

21:12 Uhr, 22.02.2016

Ich bin gerade in der Vorbereitung für kommende Lineare Algebra Klausur.

Ich habe jetzt diese Aufgabe vor mir liegen und ich blicke ehrlich gesagt nicht durch.

Ich denke ich habe ein Verständnisproblem. Aufgabe

a)

konnte ich. Aufgabe

b) dim

Kern

φ

und dim Bild

φ

ermitteln konnte ich auch. Basis finden für Bild

φ

kann (einfach Rang der Matrix bestimmen) aber keine Ahnung wie ich die Basis Kern

φ

ermitteln kann.

falls jemand eine Lösung mit Erklärung parat hat wäre ich sehr dankbar.

schöne Grüße :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

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21:27 Uhr, 22.02.2016

Basis von Kern bekommst Du, indem Du das LGS löst.
Es wäre übrigens interessant zu sehen, wie Du a) gemacht hast.

ibo999 aktiv_icon

21:57 Uhr, 22.02.2016

ich habe Definitionen überprüft. Ich habe zuerst

v 1, v 2, v 3, v 4

auf lineare Unabhängigkeit überprüft. Die Vektoren sind Linear unabhängig. Folgt

: {v 1, v 2, v 3, v 4}

Element von

R 4

und bilden eine Basis. Jetzt hab ich folgende Definition abgeprüft die im unseren Script steht.

Es seien

V, W

K-Vektorräume mit

dim K (V) = n

∈

N, {v 1,

. . . ,vn

}

eine Basis
von

V

und

w 1,

. . . , wn ∈

W

beliebig. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung ϕ

: V

←−

W

mit

φ

(vi) = wi

für 1 ≤

i

≤

n

Ich hab versucht das LGS zu lösen, das Problem bekomme nur eine Triviale Lösung.
Also

α 1 = 0 . .

α 4 = 0

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22:16 Uhr, 22.02.2016

"Jetzt hab ich folgende Definition abgeprüft die im unseren Script steht."

Das ist keine Definition, das ist ein Satz. Ob Du ihn nutzen darfst, weiß ich nicht, denn mit ihm ist Teil a) recht billig.
Kern ist nicht

{0}

, denn Kern ist mindestens eindimensional, wegen der Dimensionsformel.
Zeige, dass

w_{i}

linear abhängig sind und nutze das, um ein nichttriviales Element im Kern zu finden. Den Rest kannst Du mit der Dimensionsformel erledigen.

ibo999 aktiv_icon

23:00 Uhr, 22.02.2016

Ja natürlich, die Definition war vorher , das ist die Folgerung. Ja teil

a)

ist "billig" , wir dürfen dies benutzen. so und zu

b)

noch eine Frage: ist die Basis von Bild

φ

auch die Basis von Kern

φ

?
ich habe folgendes raus

, W_{1}

und

W_{2}

sind linear unabhängig und bilden eine Basis von Bild

φ . .

- w_{1} - 2 \cdot w_{2} + w_{3} = 0

und

- w_{1} + w_{2} + w_{4} = 0

ledum aktiv_icon

23:12 Uhr, 22.02.2016

Hallo
der Kern liegt in

ℝ^{4}

also im Urbild, das Bild in

ℝ^{3}

wie sollen sie da dieselbe Basis haben?
Gruß ledum

ibo999 aktiv_icon

00:01 Uhr, 23.02.2016

R 4

Vektoren sind linear unabhängig das bedeutet doch dass die Determinante ungleich 0 ist . Folgt im Kern befindet sich nur der Nullvektor oder irre ich mich Komplett und bin auf dem falschen Weg ? Wenn ich zwei Vektoren nehmen würde zum Beispiel

u_{3}

und

u_{4}

und sage

u_{3} =

−

v_{1}

−

2 \cdot v_{2} + v_{3} = 0

und

u_{4} =

−

v_{1} + v_{2} + v_{4} = 0

und diese Beiden füge ich in die Funktion

φ

ein , es sollte dann

w_{i}

rauskommen, Zum Beispiel:

φ (\vec{u_{3}}) = φ (

−

v_{1}

−

2 \cdot v_{2} + v_{3}) = - φ (v_{1}) - 2 \cdot φ (v_{2}) + φ (v_{3})

= - w_{1} - 2 \cdot w_{2} + w_{3}

aufgrund der Abbildungsvorschrift.

schöne grüße und danke für die Hilfe

ledum aktiv_icon

00:24 Uhr, 23.02.2016

ist jetzt klar, dass du 2 Vektoren aus rr^4 im Kern hast?
Gruss ledum

DrBoogie aktiv_icon

08:27 Uhr, 23.02.2016

"Folgt im Kern befindet sich nur der Nullvektor oder irre ich mich Komplett und bin auf dem falschen Weg ?"

Komplett auf dem falschen Weg. Kern hat was mit der Abbildung zu tun. Deine Überlegung aber nicht.

DrBoogie aktiv_icon

08:29 Uhr, 23.02.2016

Ein Vektor

a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + a_{3} v_{3} + a_{4} v_{4}

ist genau dann im Kern, wenn

a_{1} w_{1} + a_{2} w_{2} + a_{3} w_{3} + a_{4} w_{4} = 0

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