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Basis Quotientenraum, darstellende Matrix

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: basis, darstellende Matrix, matriz, Matrizenrechnung, Quotientenraum, Vektorraum

D2109 aktiv_icon

23:05 Uhr, 17.01.2015

Hallo liebe Helfer,

Zurzeit haben wir in Mathe das Thema Äquivalenzrelation mit allem drum und dran. Leider fällt mir dieses Thema so schwer und deshalb weiß ich leider einfach nicht, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll.. meine Aufgabe lautet:

Gegeben seien die Vektoren

v_{1} := (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

und

v_{2} := (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})

ℝ^{4}

. Sei

W

der Untervektorraum von

ℝ^{4}

, der von

v_{1}

und

v_{2}

erzeugt wird. Sei

π : ℝ^{4} \to ℝ^{4} / W

die Projektion auf den Quotientenvektorraum

ℝ^{4} / W

. Mit

e_{i}

bezeichnen wir die Standardeinheitsvektoren und für einen Vektor

v

sei

[v]

die Restklasse von

v

ℝ^{4} / W

. Sei

B = {e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}}

die Standardbasis des

ℝ^{4}

.

i) Zeigen Sie, dass

A = {[e_{1}], [e_{3}]}

eine Basis von

ℝ^{4} / W

ist.

ii) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von

π

bezüglich der Basen

B

bzw.

A

von

ℝ^{4}

bzw.

ℝ^{4} / W

.

Ich hoffe, mir kann jemand Schritt für Schritt bei der Aufgabe helfen... wäre euch sehr sehr dankbar !! :-)

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

D2109 aktiv_icon

23:08 Uhr, 17.01.2015

Erstmal zu i): Ich weiß ja, dass

e_{1} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

ist und

e_{3} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

ist. Doch weiter weiß ich leider echt nicht... Wird bei

ℝ^{4} / W

der Untervektorraum

W

ausgeschlossen oder wie habe ich den Ausdruck zu verstehen?

DrBoogie aktiv_icon

11:20 Uhr, 18.01.2015

∣ e_{1} ∣, ∣ e_{3} ∣

sind linear unabhängig, weil aus

a ∣ e_{1} ∣ + b ∣ e_{3} ∣ = ∣ 0 ∣

folgt:

W = 0 + W = ∣ 0 ∣ = a ∣ e_{1} ∣ + b ∣ e_{3} ∣ = a e_{1} + W + b e_{3} + W = (a, 0, 0, 0) + (0, 0, b, 0) + W = (a, 0, b, 0) + W

(a, 0, b, 0) \in W

(a, 0, b, 0) = λ (1, 1, 0, 0) + μ (0, 0, 1, 1) = (λ, λ, μ, μ)

a = 0, b = 0

∣ e_{1} ∣, ∣ e_{3} ∣

erzeugt ganz

ℝ^{4} / W

, weil für ein beliebiges Element

(x, y, z, u) + W

aus

ℝ^{4} / W

gilt:

(x, y, z, u) + W = (x, y, z, u) - (y, y, u, u) + W = (x, 0, z, 0) + W = x e_{1} + W + y e_{3} + W = x ∣ e_{1} ∣ + y ∣ e_{3} ∣

.

Da

∣ e_{1} ∣, ∣ e_{3} ∣

lin. unabhängig sind und den ganzen Raum erzeugen, sind sie eine Basis von

ℝ^{4} / W

.

ii)
Matrix von

π

hat als Spalten die Koordinatenvektoren von

π (e_{1}), π (e_{2}), π (e_{3}), π (e_{4})

in der Basis

∣ e_{1} ∣, ∣ e_{3} ∣

.
Da

π (e_{1}) = ∣ e_{1} ∣, π (e_{3}) = ∣ e_{3} ∣

und

π (e_{2}) = (0, 1, 0, 0) + W = (0, 1, 0, 0) - (1, 1, 0, 0) + W = (- 1, 0, 0, 0) + W = - ∣ e_{1} ∣

π (e_{4}) = (0, 0, 0, 1) + W = (0, 0, 0, 1) - (0, 0, 1, 1) + W = (0, 0, - 1, 0) + W = - ∣ e_{3} ∣

,
also kommt am Ende die Matrix

(\begin{array}{rcl} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array})

raus.

DrBoogie aktiv_icon

11:21 Uhr, 18.01.2015

"der Untervektorraum W ausgeschlossen oder wie habe ich den Ausdruck zu verstehen?"

Als Quotientenraum bzw. Faktorraum.
Siehe z.B. hier die Definitionen:
http//de.wikipedia.org/wiki/Faktorraum

D2109 aktiv_icon

13:56 Uhr, 22.01.2015

Vielen Dank für die Hilfe ! Hab die Aufgabe jetzt gelöst :-)

Liebe Grüße

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