Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Basis Schnittmenge bestimmen

Basis Schnittmenge bestimmen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Matrizenrechnung, Vektorraum

HappyHyppo aktiv_icon

15:15 Uhr, 25.01.2018

Hallo,

ich bin bei einer Aufgabe auf ein Problem gestoßen:
Ich sollte eine Basis und die dim der Schnittmenge von Zeilen- und Spaltenraum bestimmen.
Beide haben je die $dim = 3$ als Teilmenge des $ℝ^{4}$ .
Also dachte ich, daß für ein Element, welches im Schnitt liegt, die Gleichung

$a (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + c (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = d (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + e (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) + f (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})$

erfüllt sein muss, wobei die drei Vektoren auf jeder Seite eine Basis des jeweiligen Raumes darstellen.

Nach einiger Umformerei erhalte ich

$a' (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + b' (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + c (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + e (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Diese 4 Vektoren sind lin. unanb. Da es sich aber um einen Schnitt zweier $ℝ^{3}$ handelt, kann dies doch nicht sein?
Allerdings sehe ich auch meinen Fehler nicht. Wäre dankbar für jeden Hinweis!

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

15:19 Uhr, 25.01.2018

Welche Umformungen machst Du denn? Und wohin sind bei Dir $d$ und $f$ verschwunden?

DrBoogie aktiv_icon

15:24 Uhr, 25.01.2018

Eigentlich musst Du die Matrix
1 0 -1 -1 0 1
0 -1 -1 0 1 -1
-1 1 0 1 1 0
1 0 1 -1 2 1
nehmen und sie mit Gauss bearbeiten, um auf die Lösung zu kommen.
Die Lösung ist dann ein Unterraum in dem 6-dimensionalen Raum.
Und von dieser Lösung gelangt man leicht zu der Lösung der Originalaufgabe.

HappyHyppo aktiv_icon

15:38 Uhr, 25.01.2018

Ich habe das so gemacht:

$a (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + c (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = d (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + e (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) + f (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})$

$/ - d (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$ und $/ + (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})$

$\Leftrightarrow$

$(a - d) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + (b - 1) (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + c (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = e (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) - f (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) - f (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})$

$\Leftrightarrow$

$(a - d + f) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + (b - 1 + f + 1) (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + c (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + e (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

DrBoogie aktiv_icon

15:44 Uhr, 25.01.2018

Gut, aber dann durftest nicht einfach $a - d + f$ durch $a^{ʹ}$ usw. ersetzen.
Bzw. schon, nur bringt das nicht.
Stattdessen musst Du sagen: die $4$ gebliebene Vektoren sind linear unabhängig (Prüfung!), daher folgt $a - d + f = b + f = c = e = 0$ . Wenn jetzt $f$ und $d$ als freie Parameter benutzt werden, ist der Lösungsraum ${(d - f, - f, 0, d, 0, f)}$ .

HappyHyppo aktiv_icon

15:58 Uhr, 25.01.2018

Entschuldige, aber ich verstehe die Argumentation

"Wenn jetzt $f$ und $d$ als freie Parameter benutzt werden, ist der Lösungsraum ${($ d−f,−f,0,d,0,f ) $}$ " nicht so recht.
Wieso $f$ und $d$ bzw. wieso genau 2 Parameter? Und was meint die Mengenklammer genau?

DrBoogie aktiv_icon

16:05 Uhr, 25.01.2018

"Wieso und bzw. wieso genau 2 Parameter?"

2 Gleichungen und 4 Unbekannte sind zwei Unbekannte "zu viel". Daher wählt man 2 als freie Parameter. Welche, ist egal. Müssen nicht $f$ und $d$ sein. Die Darstellung des Lösungsraumes wie auch Basis ist nie eindeutig.

"Und was meint die Mengenklammer genau?"

Menge, bestehend aus allen Tupeln dieser Form.

Sorry, aber ich wundere mich über Deine Fragen. Weißt Du nicht, wie man LGS löst?

HappyHyppo aktiv_icon

19:34 Uhr, 25.01.2018

Ok.
...sagen wir mal ich bin ziemlich unbeholfen in der Welt der lin. Alg. unterwegs ;-)

Also ist eine Basis gegeben durch die 4 Vektoren, wodurch sich die $dim = 4$ ergibt?

DrBoogie aktiv_icon

19:55 Uhr, 25.01.2018

Nein. Du hast $a = d - f, b = - f, c = 0$ .
Und der Schnitt besteht aus allen Vektoren $a v_{1} + b v_{2} + c v_{3}$ mit den $v_{1}$ bis $v_{3}$ wie oben, die ich zu faul bin einzutippen. :-)
Daher besteht der Schnitt aus Vektoren $(d - f) v_{1} - f v_{2}$ , womit Vektoren $v_{1}$ (eingesetzt $d = 1, f = 0$ ) und $- v_{1} - v_{2}$ (eingesetzt $d = 0, f = 1$ ) eine Basis des Schnitts bilden, welcher daher 2-dimensional ist.

Und lineare Algebra ist Dein Freund. :-))

HappyHyppo aktiv_icon

20:14 Uhr, 25.01.2018

Ahhhhh...
Jetzt hab ichs :-)
Vielen Dank für Deine Mühe!
Gruß HH

...ist aber eine merkwürdige Freundschaft ;-)

1411825

1411748

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?